|
Feladat: |
1502. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Balogh J. , Bodor István , Bottyán I. , Bulkai Tamás , Csörgei J. , Dőry Anna , Farkas I. , Fiala T. , Gács P. , Gallatz Imre , Gegesy Ferenc , Hámori Veronika , Horváth S. , Hunyadvári L. , Joó István , Juhász Ágnes , Karsai I. , Katona V. , Kocsis F. , Körmendi S. , Lakatos L. , Lempert László , Mérő László , Mészáros J. , Missura Éva , Moson Péter , Munk Sándor , Nádai L. , Nagy László , Párdányi Zs. , Perémy Gábor , Pintér Ágnes , Pintz János , Rácz Éva , Siklósi I. , Somos Endre , Sugár L. , Szűcs A. , Takács I. , Tátrai P. , Tiszai I. , Varsányi Anikó , Vass Erzsébet , Vetier András , Wagner A. , Zöldy Béla |
Füzet: |
1967/december,
206 - 207. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Ellipszis egyenlete, Paralelogrammák, Koszinusztétel alkalmazása, Síkgeometriai szerkesztések, Ellipszis, mint kúpszelet, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1966/december: 1502. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. I. Számítással követjük a Rytz-féle szerkesztésnek az 1416. feladatban is idézett lépéseit. Legyen az ellipszis középpontja , a két konjugált félátmérő , , ahol , és a köztük levő hegyesszög . (Ugyanis , másrészt a eset vizsgálata fölösleges, ekkor és maguk a féltengelyek.)
Forgassuk el -t körül úgy, hogy új helyzetében , legyen felezőpontja , és messe a körüli, sugarú kör a félegyenest -ben, -t -ben. Ekkor, mint az idézett feladatban is láttuk, az ellipszis féltengelyei , , ezért , . A koszinusz-tételt alkalmazva | | (1) | továbbá -nak -ra való tükörképe a és háromszöget paralelogrammává egészíti ki, és az utóbbi derékszögű; így egyenlő az paralelogramma átlójával: | | (2) | Ezek szerint | | (3) | Másrészt a nagytengely iránya , így | | hiszen egyenlőszárú háromszög. E célra, (1) és (2) alapján
(1) és (2) összehasonlításából látjuk, hogy , tehát , mindig a szakaszon adódnak. Így pedig a szögtartományban van, mert a szöget derékszöggel visszaforgatva, szárai -re és -re jutnak, hiszen Thalész tétele miatt derékszög. II. Az adott numerikus értékrendszer esetében
Wagner András (Pécs, Zipernovszky K. Gépip. Techn., III. o. t.) Gallatz Imre (Pannonhalma, Bencés g. III. o. t.)
II. megoldás. Ellipszisünket a szokásos állásban behelyezzük a derékszögű koordinátarendszerbe, vagyis egyenlete , és a konjugált átmérőknek azt a felét vesszük -nek és -nek, hogy -ből -os forgás vigyen át az irányba, és eközben átlépjük az -tengely pozitív felét. Legyen az ellipszis főkörének az a pontja, amelyből kiindulva az és sugarú koncentrikus körök felhasználásával -t kapjuk, és legyen az paraméterszög ; ekkor koordinátái ‐ mint az 1416. feladatban is láttuk ‐ (, ). Továbbá a -t ugyanígy előállító pontra , mert és a főkörben szintén konjugáltak, és így merőlegesek, ezért koordinátái (, ). Ezekből egyrészt | | és összeadással
másrészt az , forgásszöget -gyel, ill. -vel jelölve
és így | | amiből Mármost (6) -szeresét (4)-höz hozzáadva, majd belőle levonva -et, -et kapjuk, ezekből pedig gyökvonással az I. megoldásbeli (3) eredményeket. Ezek után a nagytengely irányát (5) bármelyik kifejezése alapján megállapíthatjuk.
Bodor István (Veszprém, Lovassy L. g. III. o. t.) Gegesy Ferenc (Budapest, Móricz Zs. g. II. o. t.)
|
|