Feladat: 1500. matematika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Andor Cs. ,  Balázs Katalin ,  Balogh J. ,  Barcza Gyöngyi ,  Berács J. ,  Bottyán I. ,  Bulkai Tamás ,  Cseh J. ,  Csirmaz László ,  Fiala T. ,  Gács P. ,  Gellért J. ,  Hárs László ,  Juhász Ágnes ,  Katona V. ,  Kopiás A. ,  Külvári István ,  Lakner Mária ,  Mészáros J. ,  Mitrocsák Anikó ,  Moson Péter ,  Munk Sándor ,  Murvai Éva ,  Nádai László ,  Nagy Elemér ,  Nagy Zsigmond ,  Orbán G. ,  Pataki Judit ,  Péli Katalin ,  Perémy Gábor ,  Pintz János ,  Rácz Éva ,  Sásdy B. ,  Schreiber Gy. ,  Siklósi I. ,  Somos Endre ,  Sugár László ,  Szabados Katalin ,  Takács László ,  Tátray Péter ,  Tóth Ferenc ,  Végh Gy. ,  Wagner A. 
Füzet: 1967/november, 124 - 125. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinációk, Lottó, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/december: 1500. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legalább 3 egymás utáni szám akkor van egy húzásban, ha az egymás utániak száma vagy pontosan 3, vagy pontosan 4, vagy pontosan 5.
Az első esetben a 3 egymás utáni számot pl. 21, 22 és 23-nak véve, a további 2 szám 20 és 24 sem lehet, így az 1,2,...,19 és 25,26,...,90 számok közül választandó, vagyis 90-5=85 szám közül. Ez ‐ mint könnyen belátható ‐ 85⋅84/2-féleképpen lehetséges. Ha viszont a 3 szám legkisebbike 1, akkor a további kettő számára csak 4 szám tiltott, 86 közül választhatók, vagyis 86⋅85/2 különböző módon. Akkor is ennyi a megfelelő húzások száma, ha a számhármas legkisebb tagja a lehető legnagyobb: 88. Minden más esetben viszont a 21-es kezdőszám meggondolása érvényes, ilyen eset 86 van. Így pontosan 3 egymás utáni szám

86⋅85⋅842+2⋅86⋅852=12862⋅85
különböző módon adódhat egy lottóhúzásban.
Hasonlóan a pontosan 4 egymás utáni számból álló sorozat legkisebb számát 87-féleképpen választhatjuk meg, e sorozattal legtöbbször 2-2 szám szomszédos ‐ kivéve 1 és 87 esetét, amikor csak 1 ‐, így a hátra levő 1 szám részére 6, ill. 5 szám választása tilos, vagyis 84, ill. 85 a megengedett. Az ilyen húzások száma 85⋅84+2⋅85=86⋅85. ‐ Végül 86-féleképpen adódhat 5-tagú sorozat, így a Miklósra nézve kedvező húzások száma
M=12862⋅85+86⋅85+86=86(43⋅85+85+1)=86⋅3741.

Másrészt az összes lehetséges húzások száma, ha még a számok kihúzási sorrendjét is figyelembe vesszük, N=90⋅89⋅88⋅87⋅86. Ezek 5⋅4⋅3⋅2=120-asával ugyanazt az eredményt adják, csak sorrendben különböznek, így a különböző húzások száma N/120.
Mindezek szerint átlagosan
á=(N/120):M=3⋅89⋅88⋅874⋅3741=3⋅89⋅2243=587443≈136,6
húzás közül várható 1-szer, hogy Miklós nyerjen. (Az lenne hát igazságos, hogy ekkor 135,6 Ft-ot kapjon.)
Ezek szerint az 1966 végéig lefolyt több mint 500 lottóhúzásban átlagosan már több mint 3-szor lett volna várható a kívánt eset, 1967 végéig pedig több mint 4-szer várható. Ez azonban Miklós esélyét nem növeli, hiszen minden egyes húzás független a megelőzőktől. Az is lehetséges persze, hogy Miklós többször is nyer az év folyamán.
 
Nádai László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)

 
Megjegyzések. 1. n lottószám közül 5 kihúzása esetében
M=((n-4)⋅(n-5)(n-6)2+2⋅(n-4)(n-5)2)++((n-5)(n-6)+2(n-5))+(n-4)=12(n-3)(n-4)2,


így
á=n(n-1)(n-2)60(n-4),
hacsak n≥6.
2. Többen voltak, akik át nem gondolt képlet alapján válaszoltak ‐ tévesen. Közel vezet a fenti eredményhez, mégis hibás ez a gondolatmenet: A 3 egymás utáni szám 88-féleképpen, a hátra levő 2 a további 87 közül 87⋅86/2-féleképpen választható, e két szám szorzata M. Ebben a számban ugyanis pl. a H1= =1,2,3,4,50 húzás 2-szer szerepel: ,,1, 2, 4 és 4, 50'', valamint ,,2, 3, 4 és 1, 50'' alakban; a H2=1,2,3,4,5 húzás pedig 3-szor. Hasonlóan 87⋅86-nak véve a 4 egymás utáni számot tartalmazó húzások számát, ebben pl. H2 2-szer szerepel. A meggondolás helyesbítése: a pontosan 5, 4, ill. 3 egymás utáni lottószámot tartalmazó húzások száma:
P5=86,P4=87⋅86-2P5,P3=88⋅87⋅43-2P4-3P5,
ezekből M=P5+P4+P3=44⋅87⋅86-87⋅86=87⋅86⋅43, és ez a fenti téves számnál annak 44-ed részével kisebb.
 
II. megoldás. Csoportosítsuk a Miklós részére kedvező H húzásokat a 3, 4, vagy 5 egymás utáni számból álló sorozat legkisebb száma szerint, legyen ez h.
h=1 esetén H-ban szerepel 2, 3 és további két szám a 4,5,...,90 számok közül. Az utóbbi kettő 87⋅86/2 féleképpen választható. (Ebben benne van pl. 1, 2, 3, 4, 6 és 1, 2, 3, 4, 5 is.)
Minden más h szám esetén szerepel még H-ban h+1, h+2 és további kettő a lottó számai közül, de nem szerepelhet a h-1. Így e kettőt 86 szám közül választhatjuk, éspedig h minden egyes szóba jövő értéke (h=2,3,...,88, azaz 87 különböző érték) esetében 86⋅85/2-féleképpen. Az adódó
87⋅862+87⋅86⋅852
kifejezésben minden kedvező húzást pontosan egyszer vettünk számba. Tovább az I. megoldás szerint haladhatunk.
 
 Balázs Katalin (Budapest, Fazekas M. gyak. g. IV. o. t.)