Kezdőlap


Feladat:	1499. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bölcskei Hedvig , Vetier András
Füzet:	1967/október, 59 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Egész számok összege, Köbszámok összege, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/december: 1499. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Teljes indukcióval bizonyítunk. $n = 1$ esetén (1) két oldala $(- 1 + 16) + 2 (- 1 + 4) = 21 = (1 + 2) + 2 (1 + 8)$ , az állítás helyes. Feltesszük, hogy az állítás helyes $n$ helyén valamilyen $k (\geq 1)$ egész számra.
Áttérve az $n = k + 1$ esetre és $2 k + 1$ -et $a$ -val jelölve (1) bal oldalához a következő tagok jönnek hozzá:

\begin{matrix} {- a^{4} + {(a + 1)}^{4}} + 2 {- a^{2} + {(a + 1)}^{2}} = \\ = {{(a + 1)}^{2} - a^{2}} \cdot {{(a + 1)}^{2} + a^{2} + 2} = (2 a + 1) (2 a^{2} + 2 a + 3); \end{matrix}

(1) jobb oldalához pedig

\begin{matrix} a + (a + 1) + 2 [a^{3} + {(a + 1)}^{3}] = \\ = [a + (a + 1)] \cdot {1 + 2 [a^{2} - a (a + 1) + {(a + 1)}^{2}]} = \\ = (2 a + 1) (2 a^{2} + 2 a + 3), \end{matrix}

vagyis ugyanannyi. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Bölcskei Hedvig (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A bizonyítás mutatja, hogy

\begin{matrix} V_{2 k} = m^{2 k} - {(m - 1)}^{2 k} + ... + {(- 1)}^{m - 1} \cdot 1^{2 k} \end{matrix}

jelölés mellett minden egész

m

-re fennáll (1), de a teljes indukciót ez esetben

m

-ről

m + 2

-re célszerű végezni (és megfelelően az

m = 1

és

m = 2

eseteket kipróbálni).

II. megoldás. (1) tagjai között egyszerű összefüggéseket találunk:

\begin{matrix} V_{4} & = (2^{4} - 1^{4}) + (4^{4} - 3^{4}) + ... + [{(2 n)}^{4} - {(2 n - 1)}^{4}] = \\ = 1 \cdot (2 + 1) (2^{2} + 1^{2}) + 1 \cdot (4 + 3) (4^{2} + 3^{2}) + ... + \\ + 1 \cdot [(2 n) + (2 n - 1)] \cdot [{(2 n)}^{2} + {(2 n - 1)}^{2}] = \\ = [2 (2^{3} + 1^{3}) - 2^{2} + 1^{2}] + [2 (4^{3} + 3^{3}) - 4^{2} + 3^{2}] + \\ + ... + {2 [{(2 n)}^{3} + {(2 n - 1)}^{3}] - {(2 n)}^{2} + {(2 n - 1)}^{2}} = \\ = 2 S_{3} - V_{2}, azaz V_{4} + V_{2} = 2 S_{3} . \\ V_{2} & = (2^{2} - 1^{2}) + (4^{2} - 3^{2}) + ... + [{(2 n)}^{2} - {(2 n - 1)}^{2}] = \\ = 1 \cdot {(2 + 1) + (4 + 3) + ... + [(2 n) + (2 n - 1)]} = S_{1} . \end{matrix}

E két összefüggést összeadva megkapjuk (1)-et.

Megjegyzés. A kifejezéseket egymástól függetlenül is előállíthatjuk

n

függvényeként. Ismert összefüggések szerint

\begin{matrix} S_{1} & = n (2 n + 1), S_{3} = {(1 + 2 + ... + 2 n)}^{2} = S_{1}^{2} = n^{2} {(2 n + 1)}^{2}, \\ V_{2} & = - [1^{2} + 2^{2} + ... + {(2 n)}^{2}] + 2 [2^{2} + 4^{2} + ... + {(2 n)}^{2}] = \\ = - \frac{2 n (2 n + 1) (4 n + 1)}{6} + 2 \cdot 2^{2} (1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2}) = \\ = \frac{1}{3} [- n (2 n + 1) (4 n + 1) + 2^{2} \cdot n (n + 1) (2 n + 1)] = \\ = n (2 n + 1), \end{matrix}

továbbá teljes indukcióval igazolható, hogy

\begin{matrix} 1^{4} + 2^{4} + ... + k^{4} = \frac{1}{30} \cdot k (k + 1) (2 k + 1) (3 k^{2} + 3 k - 1), \end{matrix}

ennek alapján

V_{2}

iménti számításához hasonlóan

\begin{matrix} V_{4} = 2 n (2 n + 1) (4 n^{2} + 2 n - 1) . \end{matrix}

Ez az út azonban ‐ mintegy a kevesebb ötlet pótlására ‐ több számolást igényel.

Vetier András (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)