Kezdőlap


Feladat:	1498. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy László , Zöldy Béla
Füzet:	1967/szeptember, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/december: 1498. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek az egyenlet gyökei $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , és az első kettő egymásnak reciproka, vagyis $x_{1} x_{2} = 1$ . Ekkor (1) bal oldala azonos a következő kifejezéssel: ^{$^{*}$}

\begin{matrix} 24 (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) = & (2) \\ = 24 x^{3} - 24 x^{2} (x_{1} + x_{2} + x_{3}) + 24 x (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) - 24 x_{1} x_{2} x_{3}, \end{matrix}

mert a kettő különbsége legfeljebb másodfokú polinom, és eltűnik az

x_{1}

x_{2}

és

x_{3}

helyeken, s így csak azonosan

0

lehet. Ennélfogva az

x

-et nem tartalmazó tagok is egyenlők, ebből

\begin{matrix} - 24 x_{1} x_{2} x_{3} = - 24 x_{3} = - 60, ezért x_{3} = 5 / 2. \end{matrix}

(3)

Mostmár az

x^{2}

-et tartalmazó tagok egyenlőségéből ^{$^{*}$}

\begin{matrix} - 24 x^{2} (x_{1} + x_{2} + x_{3}) = - 10 x^{2}, x_{1} + x_{2} = \frac{10}{24} - \frac{5}{2} = - \frac{25}{12} . \end{matrix}

Ezek szerint

x_{1}

és

x_{2}

a következő másodfokú egyenlet gyökei:

\begin{matrix} x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2} = x_{2} + \frac{25}{12} x + 1 = 0, \end{matrix}

(4)

amit megoldva (1) gyökei

x_{1} = - 3 / 4

x_{2} = - 4 / 3

x_{3} = 5 / 2

. Az első kettő valóban egymás reciproka.
Nagy László (Esztergom, I. István g. III. o. t.)

Megjegyzés. (4) bal oldalához jutunk úgy is, hogy (1) bal oldalát osztjuk a (3)-ból kapott gyökhöz tartozó gyöktényezőnek és

x^{3}

együtthatójának szorzatával,

24 (x - x_{3}) = 24 x - 60

-nal.

II. megoldás. (1) bal oldalának gyöktényezős alakja

\begin{matrix} 24 (x - x_{1}) (x - \frac{1}{x_{1}}) (x - x_{3}) . \end{matrix}

(5)

és itt az első két gyöktényező szorzata

x + u x + 1

alakú, ahol

u = - x_{1} - 1 / x_{1}

. Az

u

értékét meghatározhatjuk abból, hogy

x^{2} + u x + 1

osztója (1) bal oldalának, tehát az osztási maradék

0

, az

x

tetszés szerinti értéke esetében. Mármost

\begin{matrix} \begin{matrix} (24 x^{3} - & 10 x^{2} & - 101 x & - 60) : & (x^{2} + u x + 1) = 24 x - (24 u + 10) \\ \pm 24 x^{3} \pm & 24 u x^{2} & \pm 24 x \\ - (24 u + 10) x^{2} & - 125 x & - 60 \\ \mp (24 u + 10) x^{2} & \mp (24 u^{2} + 10 u) x & \mp (24 u + 10) \\ (24 u^{2} + 10 u - 125) x & + (24 u - 50) \end{matrix} \end{matrix}

A maradék akkor és csak akkor tűnik el azonosan, ha

u

olyan érték, amelyre

\begin{matrix} 24 u^{2} + 10 u - 125 = 0 és 24 u - 50 = 0. \end{matrix}

Az utóbbi szerint csak

u = 25 / 12

jön szóba, és ez az első egyenletet is kielégíti.
Ezzel ismét (4)-re jutottunk. Másrészt az osztás hányadosa (5) szerint

24 (x - x_{3}) = 24 x - 24 x_{3}

, ezért

\begin{matrix} x_{3} = \frac{- (24 u + 10)}{- 24} = \frac{50 + 10}{24} = \frac{5}{2} . \end{matrix}

III. megoldás. (1) egyik gyöke sem

0

, mert

x = 0

esetén a bal oldal értéke

- 60

; így mindhárom gyök reciproka létezik. Keressük azt az egyenletet, melynek gyökei

1 / x_{1}

1 / x_{2}

1 / x_{3}

. Feltevésünk szerint

i = 1,2,3

esetén

\begin{matrix} 24 x_{i}^{3} - 10 x_{i}^{2} - 101 x_{i} - 60 = 0. \end{matrix}

x_{i} \neq 0

miatt így is írható:

\begin{matrix} - 60 {(1 / x_{i})}^{3} - 101 {(1 / x_{i})}^{2} - 10 (1 / x_{i}) + 24 = 0, \end{matrix}

így a keresett egyenlet

\begin{matrix} - 60 x^{3} - 101 x^{2} - 10 x + 24 = 0. \end{matrix}

(6)

Mivel jelölésünk szerint

1 / x_{1} = x_{2}

és

1 / x_{2} = x_{1}

, azért (1)-nek és (6)-nak két gyöke közös, és ugyanez áll a belőlük adódó

\begin{matrix} x^{3} - \frac{10}{24} x^{2} - \frac{101}{24} x - \frac{5}{2} = 0 és & (1') \\ x^{3} + \frac{101}{60} x^{2} + \frac{1}{6} x - \frac{2}{5} = 0 & (6') \end{matrix}

egyenletekre. Ezek gyöktényezős alakja

\begin{matrix} (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) = 0, ill. & (1'') \\ (x - x_{2}) (x - x_{1}) (x - \frac{1}{x_{3}}) = 0. & (6'') \end{matrix}

A közös gyökök gyökei a két bal oldal különbségének, vagyis a

\begin{matrix} - \frac{21}{10} x^{2} - \frac{35}{8} x - \frac{21}{10} = - \frac{21}{10} (x^{2} + \frac{25}{12} x + 1) = 0 \end{matrix}

egyenletnek is, amivel lényegében ismét (4)-re jutottunk. Másrészt a két gyöktényezős alak, (

1''

) és (

6''

) különbségét képezve az

\begin{matrix} (x - x_{1}) (x - x_{2}) (- x_{3} + \frac{1}{x_{3}}) = 0 \end{matrix}

alakra jutunk, amit az előbbivel összehasonlítva kapjuk, hogy

x_{3}

\begin{matrix} \frac{1}{x_{3}} - x_{3} = - \frac{21}{10} \end{matrix}

egyenlet egyik gyöke, vagyis az

5 / 2

és

2 / 5

értékek egyike. Behelyettesítéssel adódik, hogy

x_{3} = 5 / 2

elégíti ki (1)-et.
Zöldy Béla (Budapest, I. István g. II. o. t.)

^{$^{*}$}Lásd e tárgykörhöz: Surányi János: Polinomok azonossága, K. M. L. 23 (1961/11) 103‐105. o.

^{$^{*}$}Az elsőfokú tagok együtthatóinak összehasonlításából ugyanez adódik.