A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyenek az egyenlet gyökei , , , és az első kettő egymásnak reciproka, vagyis . Ekkor (1) bal oldala azonos a következő kifejezéssel:
mert a kettő különbsége legfeljebb másodfokú polinom, és eltűnik az , és helyeken, s így csak azonosan lehet. Ennélfogva az -et nem tartalmazó tagok is egyenlők, ebből | | (3) |
Mostmár az -et tartalmazó tagok egyenlőségéből | | Ezek szerint és a következő másodfokú egyenlet gyökei: | | (4) | amit megoldva (1) gyökei , , . Az első kettő valóban egymás reciproka. Nagy László (Esztergom, I. István g. III. o. t.) Megjegyzés. (4) bal oldalához jutunk úgy is, hogy (1) bal oldalát osztjuk a (3)-ból kapott gyökhöz tartozó gyöktényezőnek és együtthatójának szorzatával, -nal. II. megoldás. (1) bal oldalának gyöktényezős alakja | | (5) | és itt az első két gyöktényező szorzata alakú, ahol . Az értékét meghatározhatjuk abból, hogy osztója (1) bal oldalának, tehát az osztási maradék , az tetszés szerinti értéke esetében. Mármost | | A maradék akkor és csak akkor tűnik el azonosan, ha olyan érték, amelyre | | Az utóbbi szerint csak jön szóba, és ez az első egyenletet is kielégíti. Ezzel ismét (4)-re jutottunk. Másrészt az osztás hányadosa (5) szerint , ezért | |
III. megoldás. (1) egyik gyöke sem , mert esetén a bal oldal értéke ; így mindhárom gyök reciproka létezik. Keressük azt az egyenletet, melynek gyökei , , . Feltevésünk szerint esetén Ez miatt így is írható: | | így a keresett egyenlet Mivel jelölésünk szerint és , azért (1)-nek és (6)-nak két gyöke közös, és ugyanez áll a belőlük adódó
egyenletekre. Ezek gyöktényezős alakja
A közös gyökök gyökei a két bal oldal különbségének, vagyis a | | egyenletnek is, amivel lényegében ismét (4)-re jutottunk. Másrészt a két gyöktényezős alak, () és () különbségét képezve az alakra jutunk, amit az előbbivel összehasonlítva kapjuk, hogy az egyenlet egyik gyöke, vagyis az és értékek egyike. Behelyettesítéssel adódik, hogy elégíti ki (1)-et. Zöldy Béla (Budapest, I. István g. II. o. t.) Lásd e tárgykörhöz: Surányi János: Polinomok azonossága, K. M. L. 23 (1961/11) 103‐105. o.Az elsőfokú tagok együtthatóinak összehasonlításából ugyanez adódik. |