Kezdőlap


Feladat:	1497. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Draschitz Rudolf
Füzet:	1967/november, 122 - 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Azonosságok, Függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/december: 1497. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilvánvalóan $n \geq 2$ . Legyen $a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} = S$ , ekkor a számláló és a nevező $i$ -edik tagjának nevezője $S - a_{i}$ , ahol $i = 1, 2, ..., n$ . Föltesszük, hogy ezek egyenként, valamint (1) egész nevezője $0$ -tól különböző. $n = 2$ esetén $S = a_{1} + a_{2}$ , és a kifejezés:

\begin{matrix} K_{2} = \frac{\frac{a_{1} (a_{1} - a_{2})}{S - a_{1}} + \frac{a_{2} (a_{2} - a_{1})}{S - a_{2}}}{\frac{a_{1} - a_{2}}{S - a_{1}} + \frac{a_{2} - a_{1}}{S - a_{2}}} = \frac{(a_{1} - a_{2}) (\frac{a_{1}}{a_{2}} - \frac{a_{2}}{a_{1}})}{(a_{1} - a_{2}) (\frac{1}{a_{2}} - \frac{1}{a_{1}})} = \frac{a_{1}^{2} - a_{2}^{2}}{a_{1} - a_{2}} = a_{1} + a_{2}, \end{matrix}

ugyanis a nagy nevezőre kimondott föltevés miatt

a_{1} - a_{2} \neq 0

, a vele való egyszerűsítések megengedettek voltak.
Megmutatjuk, hogy

n > 2

esetén is

S

-sel egyenlő a kifejezés. Szorozzuk (1) nevezőjét

S

-sel, éspedig az

i

-edik tag esetében az

S = (S - a_{i}) + a_{i}

alakban. Az első taggal szorozva az illető tört számlálóját kapjuk, ami

i = 1, 2, ..., n - 1

esetén

a_{i} - a_{i + 1}

i = n

esetén pedig

a_{n} - a_{1}

, a második taggal való szorzás pedig (1) számlálójának megfelelő tagját adja. Összevonva az első szorzatokat

\begin{matrix} (a_{1} - a_{2}) + (a_{2} - a_{3}) + ... + (a_{n - 1} - a_{n}) + (a_{n} - a_{1}) = 0 \end{matrix}

adódik, ennélfogva a nagy nevező

S

-szerese valóban egyenlő a számlálóval. Ezek szerint a kifejezés egyszerűbb alakja

a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}

.
Az

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

számokra kimondott

n + 1

-edik föltétel, ti. hogy a nagy nevező

\neq 0

, aligha pótolható egyszerűbb föltételekkel.

Draschitz Rudolf (Budapest, Landler J. Gép- és Híradásip. Techn., III. o. t.)

Megjegyzés. Legyen

\begin{matrix} s (x) = \frac{a_{1} (a_{1} - a_{2})}{x - a_{1}} + \frac{a_{2} (a_{2} - a_{3})}{x - a_{2}} + ... + \frac{a_{n} (a_{n} - a_{1})}{x - a_{n}}, \\ n (x) = \frac{a_{1} - a_{2}}{x - a_{1}} + \frac{a_{2} - a_{3}}{x - a_{2}} + ... + \frac{a_{n} - a_{1}}{x - a_{n}}, \end{matrix}

ekkor a feladatunkban szereplő kifejezés értéke egyenlő az

f (x) = \frac{s (x)}{n (x)}

függvénynek az

x = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}

helyen felvett értékével. Tegyük fel, hogy

\begin{matrix} x \neq a_{1}; x \neq a_{2}; ...; x \neq a_{n}; n (x) \neq 0, \end{matrix}

így az

s (x)

n (x)

és

f (x)

értelmezésében fellépő törtek nevezői

0

-tól különbözőek. (Ez a feltevés

x = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}

mellett azt jelenti, hogy az (1)-beli kifejezésben fellépő törtek nevezői különbözőek

0

-tól.) Írjuk először egyszerűbb alakra a

\begin{matrix} g (x) = x \cdot n (x) - s (x) \end{matrix}

függvényt; a jobb oldalon álló különbségben az azonos nevezőjű törteket összevonva kapjuk, hogy

\begin{matrix} g (x) & = \frac{(a_{1} - a_{2}) (x - a_{1})}{x - a_{1}} + \frac{(a_{2} - a_{3}) (x - a_{2})}{x - a_{2}} + ... + \frac{(a_{n} - a_{1}) (x - a_{n})}{x - a_{n}} = \\ = (a_{1} - a_{2}) + (a_{2} - a_{3}) + ... + (a_{n} - a_{1}) = 0, \end{matrix}

s (x)

n (x)

f (x)

értelmezését biztosító feltételek mellett tehát

x \cdot n (x) - s (x) = 0

, azaz

f (x) = \frac{s (x)}{n (x)} = x

. Ez természetesen nem jelenti azt, hogy az

f (x)

függvény azonos volna az

f_{0} (x) = x

függvénnyel, hiszen

f (x)

és

f_{0} (x)

értelmezési tartománya nem azonos. Állításunkban csak azt mondtuk ki, hogy ahol

f (x)

értelmezve van, ott egyenlő

f_{0} (x)

-szel.
A feladatunkban szereplő kifejezés értéke tehát ‐ ha a nevezői

0

-tól különbözőek ‐ egyenlő

(a_{1} + a_{2} + ... + a_{n})

-nel. (Ha

n = 1

, akkor

x \neq a_{1}

miatt kifejezésünk nincs értelmezve.)