Kezdőlap


Feladat:	1493. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Döme Éva
Füzet:	1968/január, 4. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Numerikus módszerek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat, Terület, felszín
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/november: 1493. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott $k$ kör középpontja $O$ , sugara 1, a keresett húrok $A B$ és $A C$ , a köztük levő szög $x$ .

A két húr egyenlő, mert a szélső körszeletrészek csak így lehetnek egyenlők, ugyanis a húr növekedésével a levágott (kisebb) körszelet területe nő. Eszerint elég

x

-et úgy meghatároznunk, hogy az

O B A C

deltoid és az

O B C

körcikk területének összege egyenlő legyen

k

területének harmadrészével.
Az

O A B

háromszög

O A

-ra merőleges magassága

sin x

, mert

B O C ∢ = 2 x

, a körcikk területe pedig

x

(radián), így az

\begin{matrix} x + sin x = π / 3 \approx 1, 0472 \end{matrix}

(1)

egyenlet közelítő megoldását keressük.
Könnyen adódik, hogy

x > π / 6 (= 30^{\circ})

, és csak kevéssel haladja meg e korlátot, mert

x = 30^{\circ}

esetén a körcikk

1 / 6

része a

k

területének, a deltoid területe pedig a körcikkbe írt

O B D C

deltoidéval egyenlő, így a középső rész csak a

D B

D C

húrokon kívüli szeletekkel kevesebb, mint

k

harmada.
Valóban,

x = 31^{\circ} = 0, 5411

esetén

sin x = 0, 5150

, (1) bal oldala

1, 0561

, vagyis már

0, 0089

-del több a jobb oldalnál. Mivel

x = 30^{\circ} = π / 6

esetén még a bal oldal kisebb

π / 6 - 0, 5 = 0, 0236

-del, az

1^{\circ}

-ra eső növekedés

0, 0325

. E kis közben

sin x

növekedését egyenletesnek véve újabb közelítő értéknek

30 + 0, 0236 / 0, 0325 = 30, 73^{\circ}

-ot vehetünk, azaz

x = 30^{\circ} 43, 8'

-et.

További finomítás táblázatunk alapján nem lehetséges, mert négyjegyű szinusz‐táblázatunk adatainak növekedése (a kerekítések miatt) a

30^{\circ} - 31^{\circ}

intervallumon egyenletes.
Döme Éva (Makó, József A. g. III. o. t.)

Megjegyzés. 7 tizedesjegyű táblázat szerint, szögmásodpercnyi pontossággal

x = 30^{\circ} 43, 55' = 30^{\circ} 43' 33''

, vagyis az eltérés

1 / 4

szögperc, táblázatunk lépéshosszának

1 / 24

része. Ez a kerekítések szerencsés összekombinálódásának tulajdonítható.