|
Feladat: |
1492. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Andor Csaba , Bajmóczy Ervin , Bárdos J. , Baróthy B. , Berács József , Bod Judit , Buzás L. , Csörgei J. , Draschitz Rudolf , Faur T. , Gellért J. , Juhász Ágnes , Karsai I. , Kas P. , Kele András , Kóczy L. , Langer Tamás , Mészáros J. , Mitrocsák Anikó , Moson Péter , Murvai Éva , Nádai L. , Nagy Zs. , Orbán G. , Papp Z. , Rácz Éva , Siklósi I. , Somos E. , Szűcs András , Takács L. , Tátray P. , Vass Erzsébet , Végh Gy. , Végvári L. , Vetier András , Zöldy B. |
Füzet: |
1967/október,
57 - 58. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kombinatorikai leszámolási problémák, Permutációk, Lottó, Variációk, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1966/november: 1492. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A kihúzott számoknak a közleményekben szokásos, növekvő sorrendben való felsorolása a húzásnak nem lényeges eleme. A rendezést alább mind a feladatunk szempontjából kedvező, mind az összes lehetséges húzások számának megállapításában mellőzzük, minden húzás öt számát a kihúzás időbeli sorrendjében gondoljuk magunk elé írva. Nevezzük ezeket nyers húzásoknak. Az összes lehetséges nyers húzások száma , mert az elsőnek kihúzott szám 90-féleképpen választható, a másodszorra húzott a maradók közül 89-féleképpen, így a 90-féle kezdésből két számból álló folytatás képezhető, a további kihúzott számok rendre 88, 87, végül 86-féle továbbfejlesztést tesznek lehetővé, és rendre ennyiszeresére növekszik a korábbi szám. A kívánt tulajdonságú nyers húzások a tízféle számjegy mindegyikét pontosan egyszer tartalmazzák. Ilyen öt számot egyetlen tízjegyű számmá összeolvasva benne az egyetlen 0 számjegy páros sorszámú helyen áll, mert kihúzott számban csak második jegyként fordul elő. Eszerint a megfelelő nyers húzások felírását 0-jegyük helyének megválasztásával kezdve, 5-féle kezdés lehetséges. Vegyük másodiknak a 9-est. Ezt a még üres 4 páros sorszámú hely bármelyikére beírhatjuk, a páratlan sorszámú helyek közül viszont csak a 0 jegy elé, mert 9-essel csak a 90-es lottószám kezdődik. Így a 9-es számára is 5 hely választható, és a 0, 9 jegyek elhelyezése a 10 helyen -féleképpen lehetséges. A további jegyek lottószám tízes és egyes jegyeként egyaránt korlátozás nélkül előfordulhatnak, így az egyetlen 8-as, 7-es, , 2-es számjegy elhelyezésére a pillanatnyilag üres helyek száma szerint rendre lehetőség van, az 1-est pedig mindig az utoljára maradt üres helyre írjuk. Így az egybeolvasott tízjegyű szám előállítása -féleképpen lehetséges, ennyi a keresett nyers húzások száma. (A számjegyek elhelyezésének időbeli sorrendje lényegtelen.) Az összes nyers húzások száma -szer annyi, mint a mind a tíz jegyet tartalmazó nyers húzásoké, így átlagosan 5232 húzásra esik 1 húzás a kívánt tulajdonsággal. (Hetenként 1 húzást számítva kb. 100 évenként egyszer.)
Szűcs András (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)
II. megoldás. A mind a tíz szám jegyet tartalmazó nyers húzásokat összeszámolhatjuk a következő módon is. Először azokat tekintsük, melyekben a 90 nem fordul elő. Válasszuk meg a számok első (tízes helyi értékű) jegyeit. Ezek az jegyek közül kerülnek ki. Az elsőt 8-féleképpen választhatjuk, ennek minden megválasztásához a másodikat 7, majd a harmadikat, negyediket, ötödiket 6, 5, ill. 4-féleképpen, tehát az öt első számjegyet -féleképpen. A maradó öt jegyet kell második számjegyeknek elhelyezni. Az első számhoz 5-féleképpen választhatjuk a második jegyet, a másodikhoz maradó jegyekből még 4-féleképpen, a harmadiknál, negyediknél még 3-, ill. 2-féleképpen, az ötödik szám második jegye pedig mindig a maradó számjegy lesz. A 90-t nem tartalmazó kedvező nyers húzások száma tehát Hasonlóan, ha a 90 szerepel a kihúzott számok közt, akkor a maradó 4 szám első jegyeit az jegyek közül -féleképpen választhatjuk, és minden ilyen négyeshez a maradó 4 jegyet -féleképpen írhatjuk második jegyül, tehát a 4 számot -féleképpen választhatjuk. Minden ilyen választáshoz a 90-et első, második, harmadik, negyedik vagy ötödik számként írhatjuk hozzá, így az összes kedvező nyers húzások száma ismét | |
Draschitz Rudolf (Budapest, Landler J. gépip. t. III. o. t.) |
|