A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A közös bal oldalt polinommá alakítva a bal és jobb oldal különbsége egyszerűsödik és (1) így alakítható: | | ami nyilvánvalóan nem negatív, tehát az állítás helyes. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fönn, ha egyidejűen Ezt egyszerűbb feltételekre bonthatjuk. Összeadással amihez szükséges, hogy teljesüljön:
(természetesen egyszerre is teljesülhet a két vagylagos feltétel). Mindkettő kétféleképpen adódhat:
() és () esetén persze az egész (1) állítás semmitmondó, így lényegében akkor áll (1)-ben egyenlőség, ha | |
(2) esetében a bal és jobb oldal különbségéhez -t hozzáadva, egyszersmind kivonva, egy négytagú kifejezés négyzetét ismerjük föl: | | ez nem negatív, tehát az állítás helyes. ‐ Mivel a (2) két oldalán álló kifejezések kevesebb szimmetriát mutatnak, a két oldal egyenlőségére nem adódik egyszerű feltétel. Baróthy Géza (Pannonhalma, Bencés g. IV. o. t.) Mitrocsák Anikó (Makó, József A. g. III. o. t.) II. megoldás. Mindkét egyenlőtlenség bizonyításában elkerülhetjük a nehézkes beszorzást. (1) jobb oldala kellő csoportosítás után így alakítható: | | ahol a jobb oldalban (1) bal oldalát ismerjük föl. ‐ A második lépésben a két pozitív szám mértani és számtani közepe közti egyenlőtlenség négyzetre emelt alakját használtuk föl; így akkor is igaz, ha pl. és ellentett előjelűek, hiszen ekkor és . ‐ (2) jobb oldala pedig
Megjegyzés. Az (1) jobb oldalának itt használt átrendezése alapján így is haladhatunk:
|
|