Feladat: 1490. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bodnár Károly ,  Makó József ,  Vályi István 
Füzet: 1967/december, 204 - 205. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Racionális számok és tulajdonságaik, Számfogalom bővítése, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/november: 1490. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilvánvaló, hogy két (1) alakú szám összege és különbsége is ilyen alakú, továbbra is racionális szám szorzókkal, hiszen racionális számok összege és különbsége is racionális.
Két ilyen alakú számot összeszorozva

(a+b2+c24+d84)(A+B2+C24+D84)==(Aa+2Bb+2Cd+2Dc)+(Ab+Ba+Cc+2Dd)2++(Ac+2Bd+Ca+2Db)24+(Ad+Bc+Cb+Da)84,


és itt az egyes zárójelekben racionális számok állnak, ha minden betű racionális számot jelent.
Azt kell még belátni, hogy két (1) alakú szám hányadosa is ilyen alakú. Ehhez elég belátni, hogy egy (1) alakú, 0-tól különböző szám reciprok értéke is (1) alakú. Valóban, ha ez igaz, akkor két (1) alakú szám hányadosa, mint a számlálónak és a nevező reciprok értékének a szorzata, felírható két (1) alakú szám szorzataként, és erről már láttuk, hogy (1) alakra hozható.
Belátjuk először is, hogy egy (1) alakú szám csak akkor 0, ha a=b=c=d=0. Valóban, legyen
a+b2+c24+d84=(a+b2)+24(c+d2)=0.
Ha c+d2=0, akkor d=0, s így c=0, mert különben 2=-c/d, racionális volna; ez esetben a+b2 is 0, amiből hasonlóan a=b=0 következik. Ha c+d2≠0, akkor 24 kifejezve, majd a fellépő törtet bővítve c-d2-vel, ami szintén nem 0, csak ha c=d=0, a következőt kapjuk:
24=-a+b2c+d2=-ac-2bdc2-2d2-bc-adc2-2d22=e+f2,
ahol e és f ismét racionális; négyzetre emelve
2=e2+2f2+2ef2.
Ez azonban nem lehetséges, mert ha 2ef≠1, akkor
2=e2+2f21-2ef,
vagyis racionális szám volna; ha viszont 2ef=1 volna, akkor e2+2f2=0 kellene legyen, ami azonban csak e=f=0 esetben áll fenn, esetünkben tehát nem állhat. Az a feltevés tehát, hogy c+d2≠0, lehetetlenségre vezetett, s így egy (1) alakú szám valóban csak az a=b=c=d=0 esetben 0.
Legyen most a, b, c, d közül legalább az egyik 0-tól különböző. Bővítsük ez esetben a+b2+c24+d84 reciprokát a+b2-24(c+d2)-vel. Ez nem 0, mert a, b, -c, -d közt is van 0-tól különböző.
1a+b2+24(c+d2)=a+b2-24(c+d2)a2+2b2-4cd-2(c2+2d2-2ab).
Itt a nevező nem 0, s így az a2+2b2-4cd+2(c2+2d2-2ab) szám sem. Ezzel még bővítve a törtet a nevezőben racionális szám lesz, a számláló pedig két (1) alakú szám szorzata, s így (1) alakra hozható, mint már láttuk. Osztva még a racionális nevezővel, ismét (1) alakú számot kapunk. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.
Megjegyezzük, hogy b=c=d=0 esetén nem is szükséges bővíteni, c=d=0 esetén pedig elég a második típusú bővítést alkalmazni.
 
Makó József (Polgár, Gimnázium, IV. o. t.)
Bodnár Károly (Ózd, József A. g. IV. o. t.)
Vályi István (Budapest, Fazekas M. gyak. g. III. o. t.)

 
Megjegyzés. A 2 számról csak azt használtuk ki, hogy racionális szám és nem négyzete egyetlen racionális számnak sem. Ezért az állítás érvényes az a+bn+cn4+dn34 alakú számokra is, ahol n racionális és nem négyzete egy racionális számnak sem.