A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A keresett térfogat a négy kis gúla és a nagy gúla térfogatának összegénél annyival kevesebb, amennyi a nagy gúla és a kis gúlák közös részének térfogata. Nyilvánvaló, hogy az alakzat szimmetrikus oldalainak és átlóinak felező merőleges síkjára, így a négy kis gúla térfogata egyenlő, ugyanígy a 4 közös rész térfogata is.
Legyen oldala , ekkor a nagy gúla alapéle , a kis gúláé , vagyis amannál -ször kisebb. Ugyanez az arány a két gúla magassága között, a nagy gúláét -mel jelölve a kis gúla magassága . Ugyanis mindkettőt metszve egyik alapélük felező merőleges síkjával, a metszetek hasonló egyenlő szárú háromszögek, mert az alapon levő szögük a feltevés szerinti hajlásszög, és a metszetháromszög alapja és magassága egyenlő az illető gúla alapélével, magasságával. A nagy és kis gúla közös része háromoldalú gúla, alapháromszögének területe a kis gúla alapterületének felével egyenlő; felső csúcsát a kis gúlának az középpontjába befutó oldaléléből metszi ki a nagy gúla oldallapjának szimmetriatengelye. Az csúcs magasságát az síkmetszetben keletkezett és , valamint és hasonló derékszögű háromszög-párokból és az egyenlőségből számítjuk:
Eszerint az közös rész , majd az egész alakzat térfogata:
éppen -szerese a nagy gúla térfogatának, más szóval annyi, mint egy alapú és magasságú gúla térfogata.
Horváth Sándor (Budapest, I. István Gimn., III. o. t.) |