Kezdőlap


Feladat:	1488. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Sándor
Füzet:	1967/november, 119 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Szabályos sokszög alapú gúlák, Négyszög alapú gúlák, Derékszögű háromszögek geometriája, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/október: 1488. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keresett térfogat a négy kis gúla és a nagy gúla térfogatának összegénél annyival kevesebb, amennyi a nagy gúla és a kis gúlák közös részének térfogata. Nyilvánvaló, hogy az alakzat szimmetrikus $N$ oldalainak és átlóinak felező merőleges síkjára, így a négy kis gúla térfogata egyenlő, ugyanígy a 4 közös rész térfogata is.

Legyen

N

oldala

a

, ekkor a nagy gúla alapéle

B C = a / \sqrt[]{2}

, a kis gúláé

A B = a / 2

, vagyis amannál

\sqrt[]{2}

-ször kisebb. Ugyanez az arány a két gúla magassága között, a nagy gúláét

O F = m

-mel jelölve a kis gúla magassága

K f = m / \sqrt[]{2}

. Ugyanis mindkettőt metszve egyik alapélük felező merőleges síkjával, a metszetek hasonló egyenlő szárú háromszögek, mert az alapon levő szögük a feltevés szerinti hajlásszög, és a metszetháromszög alapja és magassága egyenlő az illető gúla alapélével, magasságával.
A nagy és kis gúla közös része háromoldalú gúla,

O B C

alapháromszögének területe a kis gúla alapterületének felével egyenlő; felső

f_{1}

csúcsát a kis gúlának az

N

középpontjába befutó

f O

oldaléléből metszi ki a nagy gúla

B C F

oldallapjának

F K

szimmetriatengelye.
Az

f_{1}

csúcs

f_{1} L

magasságát az

A O F

síkmetszetben keletkezett

f_{1} O L

és

f O K

, valamint

f_{1} K L

és

F K O

hasonló derékszögű háromszög-párokból és az

O L + L K = O K

egyenlőségből számítjuk:

\begin{matrix} O L = O K \cdot \frac{f_{1} L}{f K}, L K = O K \cdot \frac{f_{1} L}{F O}, f_{1} L (\frac{1}{f K} + \frac{1}{F O}) = 1, \\ f_{1} L = \frac{f K \cdot F O}{f K + F O} = \frac{m}{\sqrt[]{2} + 1} = m (\sqrt[]{2} - 1) . \end{matrix}

Eszerint az

O B C f_{1}

közös rész

V_{k}

, majd az egész alakzat

V

térfogata:

\begin{matrix} V_{k} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2}}{8} m (\sqrt[]{2} - 1), \\ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2}}{2} m + \frac{4}{3} \cdot \frac{a^{2}}{4} \cdot \frac{m}{\sqrt[]{2}} - 4 V_{k} = \frac{a^{2} m}{3} (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{2}}{2} - \frac{\sqrt[]{2} - 1}{2}) = \frac{a^{2} m}{3}, \end{matrix}

éppen

2

-szerese a nagy gúla térfogatának, más szóval annyi, mint egy

N

alapú és

F O

magasságú gúla térfogata.

Horváth Sándor (Budapest, I. István Gimn., III. o. t.)