Kezdőlap


Feladat:	1487. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tabiczky István
Füzet:	1968/április, 146 - 147. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Súlyvonal, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/október: 1487. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a keresett háromszög $A B C$ , melyben $B C \geq A C$ , az $A B$ oldal felezőpontja $C_{1}$ , és a $C$ -nél levő szög, a $C C_{1}$ súlyvonal, valamint a $B C + C A$ összeg ‐ ill. a $B C - C A$ különbség ‐ rendre egyenlő az adott $γ$ szöggel, az $s_{c}$ , $e$ összeg-, ill. $f$ különbség-szakasszal. Legyen továbbá $C$ -nek $C_{1}$ -re való tükörképe $D$ ‐ így az $A D B C$ négyszög paralelogramma ‐, forgassuk rá a $D$ pontot $B$ körül a $C B$ oldal $B$ -n túli meghosszabbítására, valamint a $B C$ oldalra, és legyen $D$ új helyzete $E$ , ill. $F$ .

Ekkor

C E = C B + B E = C B + B D = C B + C A = e

, hasonlóan

C F = f

, másrészt

E B D ∢ = γ

F B D ∢ = 180^{\circ} - γ

, így a

B D E

egyenlő szárú háromszögből

B E D ∢ = C E D ∢ = 90^{\circ} - γ / 2

, továbbá, mint az

E F D

derékszögű háromszög külső szöge,

C F D ∢ = 180^{\circ} - γ / 2

.
Ezek alapján a szerkesztés a következő. A

C E D ∢ = 90^{\circ} - γ / 2

, ill.

C F D ∢ = 180^{\circ} - γ / 2

szög egyik szárára fölmérjük

E C = e

-t, ill.

F C = f

-et, másik szárát metsszük a

C

körüli,

C D = 2 s_{c}

, sugarú körívvel, és az első esetben a két metszéspont közül az

E

-hez közelebbit vesszük

D

-nek;

D E

, ill.

D F

felező merőlegesével a

C E

egyenesen kimetsszük

B

helyzetét, végül

B

-t

C D

-nek

C_{1}

felezőpontjára tükrözve kapjuk

A

-t.
Az

A B C

háromszög megfelel a követelményeknek, mert

A C B D

paralelogramma, és

B E D

, ill.

B F D

egyenlő szárú háromszög, ezért egyrészt

C C_{1} = s_{c}

, másrészt

C A = B D = B E

, ill.

= B F

, tehát

B C + C A = C E = e

, ill.

B C - C A = C F = f

, végül

B C A ∢ = E B D ∢ = γ

, ill.

= E B D ∢ = 2 B F D ∢ = γ

.
A

D

metszéspont az

e

s_{c}

γ

adathármasból létrejön, ha

C D = 2 s_{c}

, egyrészt kisebb

C E = e

-nél, másrészt nem kisebb, mint

C

-nek az

E D

szögszártól való

C E \cdot sin C E D ∢ = e cos γ / 2

távolsága:

\begin{matrix} e cos γ / 2 \leq 2 s_{c} < e . \end{matrix}

(1)

Ennek teljesülése esetén

C D E ∢ \geq 90^{\circ}

B

C E

szakaszon adódik, és

C B \geq B E = C A

;

B

és

A

mindig létrejön és szerkesztésük egyértelmű, tehát 1 megoldás van. Ha (1) első részében egyenlőség áll, akkor az

A B C

háromszög egyenlő szárúnak adódik. (

D

-ként a távolabbi metszéspontot véve csupán

C A

és

C B

nagyságviszonya fordul ellentétesre,

C B < A C

lesz.)
Az

f

s_{c}

γ

adathármas esetében

C F D ∢ = 180^{\circ} - γ / 2 > 90^{\circ}

, így

D

létrejön, ha

\begin{matrix} 2 s_{c} > f . \end{matrix}

(2)

Ekkor

B

C F

szakasz meghosszabbításán adódik, tehát

C B > C A

, 1 megoldás van.

Tabiczky István (Győr, Révai M. Gimn.)

Megjegyzés. Az 1390. feladatban ¹ ugyanezen adathármasokból számítással határoztuk meg a háromszög további alkotórészeit és a megoldhatóság feltételének ugyancsak (1)-et, ill. (2)-t találtuk.

¹Lásd a megoldást K. M. L. 32 (1966) 155. o.