Kezdőlap


Feladat:	1483. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh Tamás
Füzet:	1967/április, 159 - 160. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Anyagok keverése és töltögetése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/október: 1483. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az edények térfogata $2 v$ , a pipettáé $x$ . Így az I. edényben $v$ térfogatú folyadék volt, majd $v - x$ maradt. A II.-ba $x$ folyadékot és $v - x$ vizet kevertünk össze, így a III.-ba átemelt keverékben térfogategységenként $x / v$ egységnyi eredeti folyadék volt, tehát $x^{2} / v$ egységnyi eredeti folyadékot vittünk át, és a feltöltés után a III.-beli keverékben térfogategységenként ${(x / v)}^{2}$ lett az eredeti folyadék.
Az I. edény félig való feltöltéséhez ismét $x$ térfogatú III.-beli keverék kellett; eszerint az eredeti folyadékból $x^{3} / v^{2}$ térfogategységnyi jutott vissza, így az I.-beli keverék hígítási aránya:

\begin{matrix} \frac{1}{v} \cdot (v - x + \frac{x^{3}}{v^{2}}) = 1 - \frac{x}{v} + {(\frac{x}{v})}^{3} . \end{matrix}

(1)

A második feltöltés és az átöntések után a II. edényben annyi a keverék térfogata, mint a felhasznált vízé, vagyis

2 (v - x)

. (Nem tölti meg az edényt.) Az eredeti folyadékból annyi van itt, amennyi hiányzik az I.-ből, tehát a hígítási arány:

\begin{matrix} \frac{x - \frac{x^{3}}{v^{2}}}{2 (v - x)} = \frac{x (v^{2} - x^{2})}{2 v^{2} (v - x)} = \frac{x (v + x)}{2 v^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{v} + \frac{1}{2} {(\frac{x}{v})}^{2} . \end{matrix}

(2)

(Kizártuk az

x = v

esetet, ami érdektelen, mert azt jelentené, hogy víz hozzáadása nélkül töltögetjük az eredeti folyadékot.)
(1) és (2) egyenlőségéből,

x / v = q

jelöléssel, rendezéssel

\begin{matrix} 2 q^{3} - q^{2} - 3 q + 2 = 0. \end{matrix}

(3)

Az együtthatók összege

0

, tehát

q = 1

gyöke az egyenletnek, és az iménti meggondolás szerint a feladatnak egy semmitmondó megoldása. A megfelelő

q - 1

gyöktényező kiemelhető (3) bal oldalának alakításával:

\begin{matrix} (2 q^{3} - 2 q) - (q^{2} + q - 2) = 2 q (q - 1) (q + 1) - (q - 1) (q + 2) = \\ = (q - 1) (2 q^{2} + q - 2) = 0. \end{matrix}

A leválasztás után maradó

2 q^{2} + q - 2 = 0

másodfokú egyenlet gyökei ellentett előjelűek, hiszen szorzatuk

- 1

, így csak a pozitív gyököt vesszük:

\begin{matrix} q = \frac{x}{v} = \frac{- 1 + \sqrt[]{17}}{4} \approx 0, 781, \end{matrix}

tehát a pipetta térfogata az edények térfogatának

x / 2 v = q / 2 \approx 0, 390

része.

Németh Tamás (Pannonhalma, Bencés g. III. o. t.)