Kezdőlap


Feladat:	1481. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Eszes Gábor , Farkas György
Füzet:	1967/október, 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/október: 1481. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A bal oldalon a beszorzást elvégezve 12 tag összege áll. Mértani közepük

\begin{matrix} \sqrt[^{12}]{a^{24} b^{24} c^{24}} = a^{2} b^{2} c^{2}, \end{matrix}

a jobb oldal 12-ed része. Eszerint a bal oldali tagok számtani és mértani közepe közti egyenlőtlenség áll előttünk, 12-vel szorozva.
Egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha mind a 12 tag egyenlő. Ennek feltételei: bármelyik kéttagú zárójel tagjainak egyenlőségéből

b = c

, ezzel már a négytagú zárójel 2‐2 tagja is egyenlő. Ugyanitt

b^{2} c^{3} = b^{2} c

-ből

c^{2} = 1

, és így

c = 1 = b

, végül a 2. és 4. zárójeles kifejezés egyenlőségéből

a^{2} = 1

a = 1

. Valóban,

a = b = c = 1

esetén mind a 12 tag értéke 1, a jobb oldal pedig 12.
Farkas György (Budapest, Landler J. Gép- és Hír. Ip. T., II. o. t.)

Lényegében a további megoldástípusok is a pozitív számok számtani és mértani közepe közti egyenlőtlenséget használják fel, egyszerre kevesebb tagra alkalmazva, más-más csoportosításban.

II. megoldás. (1) bal oldalán hat-hat 7-ed, ill. 5-ödfokú tag áll. Egyet-egyet alkalmasan párosítva ‐ ti. az elölről és hátulról ugyanannyiadik tagokat ‐

\begin{matrix} K = (a^{4} b^{2} c + b^{2} c^{3}) + (a^{4} b c^{2} + b^{3} c^{2}) + (a^{3} b^{3} c + a b c^{3}) + (a^{3} b c^{3} + a b^{3} c) + \\ + (a^{2} b^{3} c^{2} + a^{2} b c^{2}) + (a^{2} b^{2} c^{3} + a^{2} b^{2} c), \end{matrix}

mindegyik pár mértani közepe

a^{2} b^{2} c^{2}

, mindegyik zárójel

\geq 2 a^{2} b^{2} c^{2}

. ‐ Egyenlőség akkor és csak akkor áll (1)-ben, ha az átrendezés mindegyik zárójelében az áll. A 6. és 5. zárójelből

c^{2} = 1

b^{2} = 1

‐ amiből

c = b = 1

‐, és ezek alapján a negyedikből

a^{2} = 1

a = 1

.
Eszes Gábor (Budapest, Berzsenyi D. g. III. o. t.)

Megjegyzés. Hasonlóan vezet eredményre a következő átrendezés is:

\begin{matrix} K = (a^{4} b c^{2} + b^{3} c^{2}) + (a^{4} b^{2} c + b^{2} c^{3}) + (a^{2} b c + b c) \cdot (a b^{2} + a c^{2}) + \\ + (a^{2} b^{3} c^{2} + a^{2} b c^{2}) + (a^{2} b^{2} c^{3} + a^{2} b^{2} c) . \end{matrix}