Kezdőlap


Feladat:	1480. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bán Ilona , Ferencz László , Perémy Gábor
Füzet:	1967/április, 158 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/szeptember: 1480. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A bal oldali alapot a mértani sorozat összegképlete alapján átalakítjuk és úgy emeljük köbre:

\begin{matrix} 3 {\underset{︸}{\cdot 6 6 ... 6^{3}}}_{n j e g y}^{} = 3 {[6 (10^{n - 1} + 10^{n - 2} + ... + 10 + 1)]}^{3} = \\ = 3 \cdot {(\frac{6 (10^{n} - 1}{10 - 1})}^{3} = \frac{8}{9} (10^{3 n} - 3 \cdot 10^{2 n} + 3 \cdot 10^{n} - 1) . & (1) \end{matrix}

A jobb oldalt hasonlóan alakítjuk. A

4

-es számjegy helyi értéke

10^{n}

, az utolsó

2

-esé

10^{n + 1}

, és

6

-osé

10^{2 n}

és az előtte álló

8

-asé

10^{2 n + 1}

. Ezért

\begin{matrix} 8 \cdot \frac{10^{n - 1} - 1}{9} \cdot 10^{2 n + 1} + 6 \cdot 10^{2 n} + 2 \cdot \frac{10^{n - 1} - 1}{9} \cdot 10^{n + 1} + 4 \cdot 10^{n} + 8 \cdot \frac{10^{n} - 1}{9} = \\ = \frac{8}{9} (10^{3 n} - {\underset{︸}{10^{2 n + 1} + \frac{27}{4} \cdot 10^{2 n} + \frac{1}{4} \cdot 10^{2 n}}}_{}^{} - {\underset{︸}{\frac{1}{4} \cdot 10^{n + 1} + \frac{9}{2} \cdot 10^{n} + 10^{n}}}_{}^{} - 1) = \\ = \frac{8}{9} [10^{3 n} - (10 - 7) \cdot 10^{2 n} + (- \frac{5}{2} + \frac{9}{2} + 1) \cdot 10^{3} - 1], \end{matrix}

erről pedig már látjuk, hogy egyenlő (1)-gyel.

Bán Ilona (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. IV. o. t.)

II. megoldás. A bal oldalt a tényezők alkalmas átcsoportosításával átalakíthatjuk a jobb oldali számmá a következőképpen:

\begin{matrix} 3 {\underset{︸}{\cdot 6 6 ... 6^{3}}}_{n}^{} = 2^{3} \cdot 3^{4} \cdot {\underset{︸}{1 1 ... 1^{2}}}_{n}^{} \cdot {\underset{︸}{1 1 ... 1}}_{n}^{} = {\underset{︸}{9 9 ... 9^{2}}}_{n}^{} \cdot {\underset{︸}{8 8 ... 8}}_{n}^{} = \\ = ({10^{n} - 1)}^{2} \cdot {\underset{︸}{8 8 ... 8}}_{n}^{} = (1 {\underset{︸}{0 0 ... 0}}_{2 n}^{} - 2 {\underset{︸}{0 0 ... 0}}_{2 n}^{} + 1) \cdot {\underset{︸}{8 8 ... 8}}_{n}^{} = \\ = {\underset{︸}{8 8 ... 8}}_{n}^{} {\underset{︸}{0 0 ... 0}}_{2 n}^{} - 1 {\underset{︸}{7 7 ... 7}}_{n - 1}^{} 6 {\underset{︸}{0 0 ... 0}}_{n}^{} + {\underset{︸}{8 8 ... 8}}_{n}^{} = \\ = [{\underset{︸}{8 8 ... 8}}_{n - 1}^{} 6 {\underset{︸}{0 0 ... 0}}_{n}^{} {\underset{︸}{8 8 ... 8}}_{n}^{}] + \\ + (2 {\underset{︸}{0 0 ... 0}}_{2 n}^{} - 1 {\underset{︸}{7 7 ... 7}}_{n - 1}^{} 6 {\underset{︸}{0 0 ... 0}}_{n}^{} = [...] + \\ + {\underset{︸}{2 2 ... 2}}_{n - 1}^{} 4 {\underset{︸}{0 0 ... 0}}_{n}^{} = {\underset{︸}{8 8 ... 8}}_{n - 1}^{} 6 {\underset{︸}{2 2 ... 2}}_{n - 1}^{} 4 {\underset{︸}{8 8 ... 8}}_{n}^{} \end{matrix}

Ferencz László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)

III. megoldás. Az

n

-jegyű

1 1 ... 1

számot

N

-nel jelölve

10^{n} = 9 N + 1

, és a bal oldal

2^{3} \cdot 3^{4} \cdot N^{3}

A jobb oldal pedig így alakítható:

\begin{matrix} (8 N - 2) \cdot 10^{2 n} + (2 N + 2) \cdot 10^{n} + 8 N = \\ = (8 N - 2) {(9 N + 1)}^{2} + (2 N + 2) (9 N + 1) + 8 N = \\ = 8 \cdot 9^{2} \cdot N^{3} + 8 N (18 N + 1) - 2 {(9 N + 1)}^{2} + (2 N + 2) (9 N + 1) + 8 N = \\ = 2^{3} \cdot 3^{4} \cdot N^{3} + (9 N + 1) [16 N - 2 (9 N + 1) + (2 N + 2)] = 2^{3} \cdot 3^{4} \cdot N^{3} . \end{matrix}

Perémy Gábor (Budapest, Sziágyi E. g. III. o. t.)