Feladat: 1477. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Andor Csaba ,  Bajmóczy E. ,  Balogh J. ,  Bárász P. ,  Barbarits A. ,  Baróthy B. ,  Berács József ,  Bottyán I. ,  Bulkai Tamás ,  Csirmaz László ,  Csörgei J. ,  Dobozy O. ,  Draschitz R. ,  Egri R. ,  Farkas István ,  Gács P. ,  Gegesy F. ,  Gellért J. ,  Gyarmati Erzsébet ,  Hernádi Ágnes ,  Hunyadvári L. ,  Jánosi J. S. ,  Joó I. ,  Juhász Ágnes ,  Kele András ,  Koren András ,  Kovács Tamás ,  Körmendi S. ,  Lakner Mária ,  Losonczi Z. ,  Medveczky M. ,  Mérő László ,  Mlakár Katalin ,  Moson Péter ,  Nádai L. ,  Pataki István ,  Perémy G. ,  Pintér Ágnes ,  Pintz János ,  Schön G. ,  Siklósi I. ,  Somos Endre ,  Sugár László ,  Szabados Katalin ,  Szemes Katalin ,  Szentgáli Á. ,  Szűcs A. ,  Takács L. ,  Tátray Péter ,  Vályi I. ,  Verdes Sándor ,  Vetier András ,  Zöldy B. 
Füzet: 1967/szeptember, 11 - 12. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Determinánsok - lineáris egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/szeptember: 1477. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

α) A rendszert először a paraméterek a1<a2<a3<a4 nagyságviszonyának esetére oldjuk meg. A többi eseteket erre fogjuk visszavezetni. (I) így alakul:

++(a2-a1)x2+(a3-a1)x3+(a4-a1)x4=1,(II)(a2-a1)x1+(a3-a2)x3+(a4-a2)x4=1,(III)(a3-a1)x1+(a3-a2)x2+(a4-a3)x4=1,(IV)(a4-a1)x1+(a4-a2)x2+(a4-a3)x3=1.(V)
Vonjuk ki (II)-(IV) mindegyikét az utána álló egyenletből, továbbá adjuk össze az első és az utolsó egyenletet. Alkalmas kiemelésekkel:
(a2-a1)(x1-x2-x3-x4)=0,(III-II)(a3-a2)(x1+x2-x3-x4)=0,(IV-III)(a4-a3)(x1+x2+x3-x4)=0,(V-VI)(a4-a1)(x1+x2+x3+x4)=2.(II+V)

Mivel a paraméterek kiemelt különbsége egyik egyenletben sem 0, velük egyszerűsíthetünk:
x1-x2-x3-x4=0,(VI)x1+x2-x3-x4=0,(VII)x1+x2+x3-x4=0,(VIII)x1+x2+x3+x4=2a4-a1.(IX)
Mármost (VII) és (VI), valamint (VIII) és (VII) különbségéből, továbbá (IX) és (VIII) különbségéből, illetve (VI) és (IX) összegéből
x2=x3=0,x4=x1=1a4-a1.

β) Legyen ah<ai<aj<ak, ahol h, i, j, k az 1, 2, 3, 4 indexek egy tetszés szerinti sorrendje. Az előre jelzett visszavezetést a következő helyettesítéssel hajtjuk végre. Legyen

ah=b1,ai=b2,aj=b3,ak=b4.xh=y1,xi=y2,xj=y3,xk=y4.
(I) h-adik egyenlete, a bal oldalon a tagok sorrendjére nem tekintve így írható:
|ah-ai|xi+|ah-aj|xj+|ah-ak|xk=1,
ezért helyére a következő lép:
|b1-b2|y2+|b1-b3|y3+|b1-b4|y4=1,
ez pedig csak abban tér el (II)-től hogy minden egyes a és x betű helyén b, ill. y áll, hiszen b1<b2<b3<b4 miatt mindegyik együttható egyenlő az abszolút érték jelén belül álló különbség (-1)-szeresével. Hasonlóan (I)-nek i-edik, j-edik, k-adik egyenlete helyére rendre (III), (IV), (V) lép, a betűk mondott cseréjével, az indexek viszont mindenütt változatlanul maradnak.
Ezek szerint ah<ai<aj<ak esetén (I) megoldása:
xh=xk=1ak-ah,xi=xj=0.

 Berács József (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., III. o. t.)