Kezdőlap


Feladat:	1476. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gács Pál , Sugár László
Füzet:	1967/március, 109 - 110. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Egyenesek egyenlete, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/szeptember: 1476. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Minden a feltevés szerinti $x$ -re (1) két oldala értelmezve van. Az állítást teljes indukcióval bizonyítjuk. $n = 1$ esetén az állítás helyes, ugyanis a $cos 2 x = 2 {cos}^{2} x - 1$ azonosság felhasználásával

\begin{matrix} \frac{1}{sin 2 x} + \frac{2 {cos}^{2} x}{2 sin x cos x} - \frac{cos 2 x}{sin 2 x} = ctg x - ctg 2 x \end{matrix}

(2)

Tegyük fel, hogy az állítás helyes az

n

-nek valamilyen

j

értékére, és hogy a feltételek teljesülnek

n = j + 1

-re. Ekkor teljesülnek

n = j

-re is, így fennáll

\begin{matrix} \frac{1}{sin 2 x} + \frac{1}{sin 2^{2} \cdot x} + ... + \frac{1}{sin 2^{j} \cdot x} = ctg x - ctg 2^{j} \cdot x . \end{matrix}

(3)

Írjunk továbbá (2) mindkét oldalán

x

helyén

2^{j} \cdot x

-et:

\begin{matrix} \frac{1}{sin 2^{j + 1} \cdot x} = ctg 2^{j} \cdot x - ctg 2^{j + 1} \cdot x . \end{matrix}

(4)

Itt feltevésünk szerint mind a két oldalnak van értelme. Mármost (3) és (4) összeadásával (1)-et kapjuk,

n

helyén

j + 1

-gyel, tehát (1) érvényessége bármely természetes szám esetéről átöröklődik az

1

-gyel nagyobb szám esetére. ‐ Ezzel az állítást igazoltuk.
Sugár László (Budapest, I. István Gimn. IV. o. t.)

II. megoldás, a

0 < x < π / 2^{n}

értékekre szorítkozva. Mérjük föl az

x, 2 x, 4 x, ..., 2^{n} \cdot x

forgásszögeket a derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy az

O

origó közös csúcsuk, az

X

-tengely pozitív fele közös száruk legyen. Messe az

y = 1

egyenes (az origó körüli egységkör érintője a

B (0;