Kezdőlap


Feladat:	1469. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Deák Jenő , Domokos L. , Juhász Ágnes , Kádas Sándor , Kiss Á.
Füzet:	1968/január, 1 - 3. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatok hasonlósága, Csillagászati, földrajzi feladatok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/május: 1469. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. I. Legyen a Föld középpontja

F

, a Holdé

H

, a Hold átmérőjének hossza

D_{H}

és látószöge

F

-ből¹

η_{H}

; ekkor

sin η_{H} / 2 = D_{H} / (2 \cdot F H)

. Mint az 1456. feladatban² beláttuk,

sin η_{H} / 2

egyenlőnek vehető

η_{H} / 2

ívmértékével, ezért, 4 értékes számjegyre kerekítve

\begin{matrix} F H \approx \frac{D_{H}}{η_{H}} = \frac{3476}{31, 10 \cdot π / (180 \cdot 60)} = 384 200 km. \end{matrix}

A Hold ekliptikai szélessége az 1459. feladat³ interpolációs képlete szerint az előírt

t = 9, 75^{h}

időpontban

\begin{matrix} L A_{H} = - 0, 1601^{\circ} + 0, 05056^{\circ} \cdot t = 0, 3329^{\circ} = + 0^{\circ} 19' 58'', \end{matrix}

ennélfogva

H

-nak az ekliptika

S_{1}

síkjától való távolsága

\begin{matrix} d_{H} = F H \cdot sin L A_{H} = 2232 km . \end{matrix}

Mivel

L A_{H}

pozitív,

H

S_{1}

-nek azon az oldalán van, mint a Föld Északi Sarka, É.

II. Ugyanezen időpontban

F

-nek a Nap

N

középpontjától mért távolsága az 1468. feladat⁴ szerint

F N = 151 290 000 km

F

H

és

N

jó közelítéssel egy egyenesben állanak, ugyanis a

9^{h} 45^{m}

-es időpont az 1459. feladat eredményei szerint kb. 2 perccel van a Hold és a Nap longitúdójának egyezése után és kb. 7 perccel a rektaszcenziójuk egyezése előtt; így az ott készített vázlatunk szerint (lásd a

H_{3}

N_{3}

H_{4}

N_{4}

helyzeteket)

N F H ∢ < 0^{\circ} 30'

. Így pedig a színusz‐tétel szerint

F N H ∢ < 0^{\circ} 0' 5''

, hiszen

F H : H N \approx 1 : 400

. Eszerint a

H N

távolságra jó közelítéssel

\begin{matrix} H N \approx F N - F H \approx 150 910 000 km . \end{matrix}

Az idézett eredmény alapján további egyszerűsítésül úgy tekinthetjük, hogy

9^{h} 45^{m}

-kor a Hold és a Nap longitúdója egyenlő, így

H

benne van az

F N

vezérsugáron átmenő és

S_{1}

re merőlegesen álló

S_{2}

síkban.
A Nap

D_{N}

átmérője az 1456. feladatban használt

η_{N} = 31' 39''

látószögből

D_{N} \approx F N \cdot η_{N} = 1 393 000 km

2. ábra

A Hold teljes árnyékkúpjának

C

csúcsa a Hold‐gömb és a Nap‐gömb külső hasonlósági pontja. A főköröket kimetsző síkban adódó hasonló derékszögű háromszögek alapján

\begin{matrix} \frac{C N}{C H} = \frac{C H + H N}{C H} = 1 + \frac{H N}{C H} = \frac{R_{N}}{R_{H}} = \frac{D_{N}}{D_{H}}, \\ C H = H N \cdot \frac{D_{H}}{D_{N} - D_{H}} \approx 377 400 km . \end{matrix}

Ez valamivel alatta van

H

és a Föld felületének hozzá legközelebbi

F^{*}

pontja közti

F H - R_{F} \approx 378 900 km

távolságnak, megegyezésben azzal, hogy a közlések szerint az ez időben lefolyó napfogyatkozás gyűrűs.

III. A Föld megvilágított felületének az

N H

egyenesen fekvő

X

pontját abból a

Z

pontból kiindulva határozzuk meg, ahol a felületet

9^{h} 45^{m}

-kor az

F N

egyenes metszi.

Z

-ből a Napot éppen a zenitben látták (a Holddal elfödve), vagyis ott a Nap éppen delelt. Ezért

Z

földrajzi szélessége egyenlő a Nap pillanatnyi deklinációjával, ami az 1459. feladat szerint

φ_{Z} = + 19, 923^{\circ} = 19^{\circ} 55' 4 "

. ‐ Naptárak adatai szerint Budapesten (azaz a

19^{\circ}

keleti hosszúságú délkörön) e napon közép‐európai időben

11^{h} 40^{m}

-kor delet a Nap (napkelte és napnyugta adat középértéke), azaz világidőben

10^{h} 40^{m}

-kor. A kérdéses

9^{h} 45^{m}

ennél

0^{h} 55^{m}

-cel korábban volt, másrészt a delelés időpontja óránként

15^{\circ}

-kal tolódik nyugatra a hosszúsági körök mentén, ezért

Z

keleti hosszúsága

(55 / 60) \cdot 15^{\circ}

-kal, azaz

13^{\circ} 45'

-cel nagyobb, mint Budapesté:

λ_{Z} = 32^{\circ} 45'

. Ezek szerint a

Z

pont Szudánban van, a Nílus folyam Abu Hamed város melletti nagy kanyarulata közelében.

X

pont helyett egyszeresítésül azt az

X^{*}

pontot tekintjük, ahol az

N H

egyenes a Föld

Z

-beli

S_{3}

érintősíkját metszi. Az

X^{*} Z N

és

H H' N

hasonló derékszögű háromszögekből (

H'

H

vetülete

F N

-re) közelítőleg

\begin{matrix} \frac{X^{*} Z}{H H'} = \frac{Z N}{H' N} \approx \frac{Z H + H N}{H N} \approx 1 + \frac{378 000}{150 910 000} \approx 1, 0025, \\ X^{*} Z \approx d_{H} \cdot 1, 0025 = 2238 km . \end{matrix}

A csekély növekedés mutatja, hogy kerekítve ugyanennyi

X

-nek az

S_{1}

fölötti magassága. Most már a

Z F X ∢ = ξ

szögre

sin ξ = X^{*} Z / R_{F}

ξ = 20, 6^{\circ}

, így az

X Z

ív hossza 2290 km, a kérdéses

X

pont Abu Hamedtől kb. észak felé kb. 2300 km-re van, vagyis az északi szélesség

40^{\circ}

-a körül, Törökországban, Ankara térségében.

Kádas Sándor (Budapest, József A. G.) és
Deák Jenő (Budapest, Kölcsey F. G.) dolgozatából, egyszerűsítésekkel

Megjegyzés. Az

X

pont helyzete pontosabban is meghatározható.

X

ugyanis nem pontosan észak felé van

Z

-től, mert a Földből

S_{2}

által kimetszett főkör csak jún. 21-én és dec. 22-én megy át É-n. Az adódik, hogy

X

a Dardanellák partján levő Canakkale várostól délkeletre van. (A csillagászati folyóiratok

9^{h} 45^{m}

-re jelezték a teljes fogyatkozás Istambulon való átvonulását.)

Kádas Sándor ezt a számítást is elvégezte kizárólag középiskolai ismeretek ügyes alkalmazásával, és ez hozzátartozik a feladat lehetséges teljes megoldásához. A Föld forgástengelye és pályasíkja közti

66^{\circ} 33'

-es szög, valamint az 1456. feladatból ismert longitúdó fölhasználásával, téglatest testátlójaként kiszámította az ÉX távolságot, ebből az ÉFX szöget,

X

földrajzi szélességének pótszögét. ‐ Ez a számítás is elvezet arra a képletre, amely két földfelületi pont gömbi szögtávolságának,

ϑ

-nak, földrajzi koordinátáikból (

φ_{1}

és

λ_{1}

, ill.

φ_{2}

, és

λ_{2}

) való meghatározására

\begin{matrix} cos ϑ = sin φ_{1} sin ϑ_{2} + cos φ_{1} cos φ_{3} cos (λ_{1} - λ_{2}) \end{matrix}

alakban használatos, mint a gömbháromszögtan ún. oldal‐koszinusz‐ tételének speciális alakja: ‐ Végül hasonlóan számította ki

X

és

Z

földrajzi hosszúságkülönbségét.

¹A csillagászati évkönyvből kivett látószög‐adat természetesen

F

-re vonatkozik, nem a Föld felületének valamely adott

P

pontjára. Ugyanis a

P H

(közepesen

384 000

km) távolság a Föld forgása miatt kb.

1 / 4

nap alatt, a Hold felkelésétől deleléséig csökkenhet a Föld‐gömb

R_{F} = 6370 km

-nyi sugarával is, vagyis

1, 5 %

-kal, és emiatt a

P

-ből vett látószög kb.

1, 5 %

-kal, több, mint

20''

-cel is megnőhet. Pontosabb számításban való felhasználása esetén

P

és

H

pillanatnyi kölcsönös helyzetének megfelelően helyesbíteni kell a látószög‐adatot.

²Lásd a megoldást K. M. L. 34 (1967) 104. o.

³Lásd a megoldást a K. M. L. 34 (1967) 212. o.

⁴Lásd a megoldást a K. M. L. 36 (1967) 202. o.