Feladat: 1468. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csirmaz László ,  Deák Jenő ,  Domokos László ,  Kádas Sándor ,  Szeredi Péter ,  Zöldy Béla 
Füzet: 1967/december, 202 - 204. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Ellipszis egyenlete, Terület, felszín, Koszinusztétel alkalmazása, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/május: 1468. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kepler I. törvénye szerint a Föld középpontjának pályája ellipszis, melynek egyik fókuszában a (mozdulatlannak tekintett) Napközéppontja van. Így a Föld-Nap távolság az ellipszisnek a pálya megfelelő pontjához húzott vezérsugara. Ezt kell meghatároznunk az előírt időpontra.
Az adatokból megállapíthatjuk egyrészt az ellipszis nagytengelyének hosszát és fókuszainak távolságát, mert ‐ mint majd megmutatjuk ‐ a leghosszabb és a legrövidebb vezérsugár éppen a nagytengely két végpontjához tartozik, másrészt ‐ a koordinátákból ‐ a Föld szóban forgó három időpontbeli helyzetéhez a Napból húzott vezérsugarak közti szögeket. Ezek a szögek ugyanis rendre csúcsszögei azoknak a szögeknek, amelyeket a Föld ezen helyzeteiből a Nap felé mutató irányok egymással bezárnak.

 
 
 

 
Legyen P a földpálya nagytengelyének az N Naphoz közelebbi, A pedig a távolabbi végpontja (az ún. perihélium-pont, ill. aphelium-pont), F1, F2, F3 a Föld helyzete rendre jan. 3-án 0h-kor, júl. 5-én 0h-kor, ill. máj. 20-án 9h45m-kor (amikor a Nap és Hold ekliptikai hosszúsága egyenlő1), továbbá a földpálya másik fókusza N'. Az F1 helyzet nem mondható azonosnak P-vel, sem az F2 az A-val, mert csak azt tudjuk, hogy a Föld P-n, A-n valamikor az illető nap folyamán halad át. Ekkor a szokásos jelölésekkel a nagytengely PA=NP+NA=2a, a fókuszok egymástól való távolsága NN'=NA-N'A=NA-NP=2c. Legyen továbbá NF3=r és PNF3∢=ϑ így N'F3=2a-r, és az NN'F3 háromszögből a koszinusz-tétel alapján

N'F32=(2a-r)2=4c2+r2+4crcosϑ,r=a2-c2a+ccosϑ=(a-c)(a+c)a+c(1-2sin2ϑ/2)=NP⋅NANA-(NA-NP)sin2ϑ/2.(1)



(Innen látjuk, hogy NP, valóban a legkisebb vezérsugár. Amikor ugyanis a Föld P-ben van, ϑ=0∘, és a nevező a legnagyobb értékét veszi fel, mert kivonandó tagja 0, és r=NP. Hasonlóan ϑ=180∘ esetén a kivonandó a legnagyobb, a nevező a legkisebb, r a legnagyobb értékét veszi fel, és ez NA.)
 
ϑ-ra a hosszúsági adatokból csak közelítő értékeket kapunk, emiatt a szögmásodperceket mindjárt figyelmen kívül hagyjuk; számításba vételüket függvénytáblázatunk négyjegyű volta is fölöslegessé teszi. A PNF3∢ helyett a nagyobb F1NF3∢-et véve (360∘+58∘56')-282∘10'=136∘46' felső korlát adódik2, ha pedig az ANF3 kiegészítő szög helyett a kisebb F2NF3=102∘32'-58∘56'=43∘36' szöget vonjuk ki 180∘-ból, akkor 136∘24', és ez is felső korlát; a kettőt egybevetve ϑ≦136∘24' (az ábrán F1, P, F'1, valamint F2, A, F'2 kölcsönös helyzete torzított).
 

Másrészt alsó korlátokat kapunk ϑ-ra abból, hogy az NF vezérsugár egy évi, azaz 365,25 napi 360∘ elfordulásából egy napra kereken 1∘ elfordulás esik, így jan. 4-én 0h-kor, F'1-ben 283∘10', júl. 6-án 0h-kor, F'2-ben 103∘32' vehető longitúdónak, és ezekből a fentiekhez hasonlóan ϑ>135∘46', ill. ϑ>135∘24'. Egybevetve 135∘46'<ϑ≤136∘24', 67∘53'<ϑ/2≤68∘12'.
 

Most már (1) nevezőjének legnagyobb értéke (az alsó korlátból), millió km egységben
152,006-5,004⋅0,8582=147,712,
és legkisebb értéke hasonlóan 147,692. Ezek szerint ϑ közelítő megadása ellenére r számítható 5 értékes számjegyre: 151,28<r<151,30.
 

Kádas Sándor (Budapest, József A. Gimn.)
Zöldy Béla (Budapest, I. István Gimn.)

 
Megjegyzések. 1. Az ANF3 kiegészítő szögből számított ϑ≤136∘24' felső korlátra vezet annak figyelembevétele is, hogy a Föld a pálya PF3A fél-ívét fél év, vagyis 182 nap 15 óra alatt teszi meg. Július 5-én 0h-ig, ami A elérésének legkorábbi lehetséges időpontja, az évből 185 nap telik el, ezért P elérésének legkorábbi lehetséges időpontjáig 2 nap 9 óra telik el, vagyis P-n jan. 3-án 9h-kor haladhat át legkorábban a Föld. E 9 óra alatti elfordulás kb. 0∘22', így P longitudója legalább 282∘32', ϑ≤(360∘+58∘56')-282∘32'=136∘24'.
 
Csirmaz László (Budapest, I. István Gimn.)

 

2. Felhasználva az ellipszis ún. p paraméterét, vagyis a fókuszon átmenő és a nagytengelyre merőleges húr hosszának felét, ami
|y|=baa2-x2-ből|x|=c  helyettesítéssel  p=b2a,
valamint a c/a=e ún. numerikus excentricitást, (1) így alakítható:
r=b2a+ccosϑ=p1+ecosϑ.

Ez az ellipszis egyenlete abban a polárkoordináta-rendszerben, melynek pólusa az egyik fókusz, tengelye pedig az a félegyenes, mely innen a nagytengely közelebbi végpontjába irányul. (Ha a polártengely a nagytengely távolabbi végpontjába irányul, akkor a nevező természetesen 1-ecosϑ.)
 

3. Az adatok szerint a=149,504⋅106km; b2=a2-c2=NA⋅NP alapján b=149,483⋅106km, (a-nál annak kb. 7000-edrészével kisebb), ezekből az ellipszis területe abπ=7,02093⋅1016km2. Kepler II. törvénye alapján a vezérsugár által 1 nap alatt súrolt terület t=abπ/365,25=1,9222⋅1014km2. A jan. 3-i pályaívnek N-beli, ívmértékben vett látószögét α-val jelölve az NP2⋅α/2=t egyenletből, fokra átszámítva α=1∘1'10'', és hasonlóan júl. 5-én 2t/NA2=0∘57'12'' a vezérsugár elfordulása (máj. 20-án 57'45'', lásd 1459. feladat).
1Lásd az 1459. feladatban; pontosabban 9h 42m 44s-kor. K. M. L. 34 (1967) 212. o.

2Ugyanis F1 és F3 között a Föld átlépi pályájának azt a pontját, amelyből nézve a Nap longitúdóját 0∘-nak vesszük: márc. 21-én, amikor a földi (és égi) egyenlítő síkja áttolódik a Napon.