|
Feladat: |
1468. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Csirmaz László , Deák Jenő , Domokos László , Kádas Sándor , Szeredi Péter , Zöldy Béla |
Füzet: |
1967/december,
202 - 204. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Geometriai egyenlőtlenségek, Ellipszis egyenlete, Terület, felszín, Koszinusztétel alkalmazása, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1966/május: 1468. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Kepler I. törvénye szerint a Föld középpontjának pályája ellipszis, melynek egyik fókuszában a (mozdulatlannak tekintett) Napközéppontja van. Így a Föld-Nap távolság az ellipszisnek a pálya megfelelő pontjához húzott vezérsugara. Ezt kell meghatároznunk az előírt időpontra. Az adatokból megállapíthatjuk egyrészt az ellipszis nagytengelyének hosszát és fókuszainak távolságát, mert ‐ mint majd megmutatjuk ‐ a leghosszabb és a legrövidebb vezérsugár éppen a nagytengely két végpontjához tartozik, másrészt ‐ a koordinátákból ‐ a Föld szóban forgó három időpontbeli helyzetéhez a Napból húzott vezérsugarak közti szögeket. Ezek a szögek ugyanis rendre csúcsszögei azoknak a szögeknek, amelyeket a Föld ezen helyzeteiből a Nap felé mutató irányok egymással bezárnak. Legyen a földpálya nagytengelyének az Naphoz közelebbi, pedig a távolabbi végpontja (az ún. perihélium-pont, ill. aphelium-pont), , , a Föld helyzete rendre jan. 3-án -kor, júl. 5-én -kor, ill. máj. 20-án -kor (amikor a Nap és Hold ekliptikai hosszúsága egyenlő), továbbá a földpálya másik fókusza . Az helyzet nem mondható azonosnak -vel, sem az az -val, mert csak azt tudjuk, hogy a Föld -n, -n valamikor az illető nap folyamán halad át. Ekkor a szokásos jelölésekkel a nagytengely , a fókuszok egymástól való távolsága . Legyen továbbá és így , és az háromszögből a koszinusz-tétel alapján
(Innen látjuk, hogy , valóban a legkisebb vezérsugár. Amikor ugyanis a Föld -ben van, , és a nevező a legnagyobb értékét veszi fel, mert kivonandó tagja , és . Hasonlóan esetén a kivonandó a legnagyobb, a nevező a legkisebb, a legnagyobb értékét veszi fel, és ez .) -ra a hosszúsági adatokból csak közelítő értékeket kapunk, emiatt a szögmásodperceket mindjárt figyelmen kívül hagyjuk; számításba vételüket függvénytáblázatunk négyjegyű volta is fölöslegessé teszi. A helyett a nagyobb -et véve felső korlát adódik, ha pedig az kiegészítő szög helyett a kisebb szöget vonjuk ki -ból, akkor , és ez is felső korlát; a kettőt egybevetve (az ábrán , , , valamint , , kölcsönös helyzete torzított). Másrészt alsó korlátokat kapunk -ra abból, hogy az vezérsugár egy évi, azaz napi elfordulásából egy napra kereken elfordulás esik, így jan. 4-én -kor, -ben , júl. 6-án -kor, -ben vehető longitúdónak, és ezekből a fentiekhez hasonlóan , ill. . Egybevetve , . Most már (1) nevezőjének legnagyobb értéke (az alsó korlátból), millió km egységben | | és legkisebb értéke hasonlóan . Ezek szerint közelítő megadása ellenére számítható értékes számjegyre: . Kádas Sándor (Budapest, József A. Gimn.) Zöldy Béla (Budapest, I. István Gimn.)
Megjegyzések. 1. Az kiegészítő szögből számított felső korlátra vezet annak figyelembevétele is, hogy a Föld a pálya fél-ívét fél év, vagyis nap óra alatt teszi meg. Július 5-én -ig, ami elérésének legkorábbi lehetséges időpontja, az évből nap telik el, ezért elérésének legkorábbi lehetséges időpontjáig nap óra telik el, vagyis -n jan. 3-án -kor haladhat át legkorábban a Föld. E óra alatti elfordulás kb. , így longitudója legalább , .
Csirmaz László (Budapest, I. István Gimn.)
2. Felhasználva az ellipszis ún. paraméterét, vagyis a fókuszon átmenő és a nagytengelyre merőleges húr hosszának felét, ami | | valamint a ún. numerikus excentricitást, (1) így alakítható: Ez az ellipszis egyenlete abban a polárkoordináta-rendszerben, melynek pólusa az egyik fókusz, tengelye pedig az a félegyenes, mely innen a nagytengely közelebbi végpontjába irányul. (Ha a polártengely a nagytengely távolabbi végpontjába irányul, akkor a nevező természetesen .)
3. Az adatok szerint ; alapján , (-nál annak kb. -edrészével kisebb), ezekből az ellipszis területe . Kepler II. törvénye alapján a vezérsugár által nap alatt súrolt terület . A jan. 3-i pályaívnek -beli, ívmértékben vett látószögét -val jelölve az egyenletből, fokra átszámítva , és hasonlóan júl. 5-én a vezérsugár elfordulása (máj. 20-án , lásd 1459. feladat). Lásd az 1459. feladatban; pontosabban -kor. K. M. L. 34 (1967) 212. o.Ugyanis és között a Föld átlépi pályájának azt a pontját, amelyből nézve a Nap longitúdóját -nak vesszük: márc. 21-én, amikor a földi (és égi) egyenlítő síkja áttolódik a Napon. |
|