Kezdőlap


Feladat:	1467. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh J. , Barcza Gyöngyi , Bottyán I. , Csirmaz L. , Deák J. , Domokos L. , Fiala T. , Füvesi I. , Gegesy F. , Halász Ferenc , Halek T. , Herényi I. , Joó I. , Kádas S. , Karsai I. , Kloknicer I. , Králik I. , Külvári I. , Lengyel T. , Óhegyi E. , Perémy G. , Pintér J. , Szarka Ilona , Szeidl L. , Szentgáli Á. , Szeredi P. , Varga Gabriella
Füzet:	1967/március, 97. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Exponenciális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/május: 1467. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletet a következő alakba írhatjuk át:

\begin{matrix} 4 \cdot 4^{2 x} - 21 \cdot {(2^{2})}^{x} + 4 = \sqrt[]{116 \cdot 4^{2 x} + 2 \cdot {(2^{2})}^{x} + 2 \cdot 4^{3 x}}, \end{matrix}

hiszen

8 = 4^{3 / 2} .

Legyen most

4^{x} = y

, így

\begin{matrix} 4 y^{2} - 21 y + 4 = \sqrt[]{116 y^{2} + 2 y + 2 y^{3}}, \end{matrix}

(1)

négyzetre emeléssel és

0

-ra redukálással:

\begin{matrix} 16 y^{4} - 170 y^{3} + 357 y^{2} - 170 y + 16 = 0. \end{matrix}

Mivel

y = 0

nem gyöke az egyenletnek, oszthatunk

y^{2}

-nel

\begin{matrix} 16 (y^{2} + \frac{1}{y^{2}}) - 170 (y + \frac{1}{y}) + 357 = 0 \end{matrix}

és új ismeretlent bevezetve csak másodfokú egyenletet kell megoldanunk:

\begin{matrix} y + \frac{1}{y} = z, y^{2} + \frac{1}{y^{2}} = z^{2} - 2, \\ 16 z^{2} - 170 z + 325 = 0, z' = 65 / 8, z'' = 5 / 2. \end{matrix}

mindegyik értékéből két

y

értéket kapunk:

\begin{matrix} y_{1} = 8, y_{2} = 1 / 8, ill.y_{3}=2,y_{4}=1/2. \end{matrix}

Az első kettő kielégíti (1)-et, az utóbbi kettő esetében viszont (1) bal oldala negatív, ezek az eredeti feladatnak nem megoldásai.
Végül

4^{x} = 8

-ból

x_{1} = 3 / 2

4^{x} = 1 / 8

-ból

x_{2} = - 3 / 2

Halász Ferenc (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)