Kezdőlap


Feladat:	1464. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bajna Zs. , Baróthy B. , Dabóczy Á. , Deák I. , Domokos L. , Dőry Anna , Dózsa L. , Göndöcs F. , Havas J. , Kádas S. , Kloknicer I. , Lipták József , Losonci Z. , Sásdy B. , Sátori Gabriella , Szentgáli Á. , Takács L. , Tihanyi L. , Tiszai I. , Verdes S.
Füzet:	1966/november, 134 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tetraéderek, Térfogat, Féligszabályos testek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/április: 1464. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kérdéses $T$ testnek $l = 10$ lapja van, éleinek száma fele annyi, mint az összes lapok összes oldalainak $8 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 32$ száma, mert így minden élt a benne összefutó $2$ lap mindegyikénél számításba vettünk, vagyis $é = 16$ . Csak azt az esetet tekintjük, ha $T$ konvex. Ekkor érvényes rá az ún. Euler-féle poliéder tétel, így csúcsainak száma $c = é + 2 - l = 8$ . Eszerint $T$ -nek nincs más csúcsa, mint a négyzetlapok csúcsai, $T$ azonos az 1320. feladat¹ utolsó ábráján ábrázolt testtel, felső $N_{2}$ négyzetlapja az alsó $N_{1}$ négyzetlaphoz képest $45^{\circ}$ -kal el van fordítva a középpontjaikat összekötő egyenes körül, és e lapok $m$ távolságára fennáll $m^{4} = 1 / 2$ .

Tekintsük azt a

4

háromszöglapot, amelyek egy élükkel csatlakoznak

N_{1}

-hez, és hosszabbítsuk meg a velük szomszédos

3

‐

3

lapot közös pontjukig. A kiszemelt lapok e meghosszabbításokkal egy-egy

H

tetraédert alkotnak, ezek egymással egybevágók, és

T

-t kiegészítik egy

C

szabályos négyoldalú csonkagúlavá (vékonyan rajzolt élek).

C

alapnégyzetének területe

2

, mert oldalai egyenlők

N_{1}

átlóival, így térfogata

\begin{matrix} V_{c s} = m (2 + \sqrt[]{2} + 1) / 3. \end{matrix}

H

-tetraéderek alapterülete

1 / 4

, így együttes térfogatuk, végül

T

térfogata

\begin{matrix} V_{h} = 4 \cdot (1 / 4) \cdot m / 3, V_{T} = V_{c s} - V_{h} = (2 + \sqrt[]{2}) / (3 \cdot \sqrt[4]{2}) = \sqrt[4]{2} (1 + \sqrt[]{2}) / 3 \approx \\ (\approx 0, 956 térfogategység) . \end{matrix}

Lipták József (Esztergom, Temesvári Pelbárt g. IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Számíthatjuk a térfogatot az 1240. feladatból² ismert

\begin{matrix} V = m (t_{a} + 4 t_{k} + t_{f}) / 6 \end{matrix}

képlet alapján is, ahol

t_{a}

t_{f}

t_{k}

rendre az alsó alap, a felső alap, ill. az

m

magasság felező merőleges síkja által kimetszett metszet területe, ugyanis az idézett megoldás 2. megjegyzésében közölt meghatározás szerint

T

prizmatoid. A középmetszet szabályos nyolcszög, oldala

1 / 2

egység.
2. Négyzetek helyén tetszés szerinti szabályos

m

-szögpárral

(n \geq 3)

és

2 n