Kezdőlap


Feladat:	1463. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh J. , Bod Judit , Bottyán István , Cziffra A. , Domokos L. , Farszky I. , Fencsik G. , Fialovszky B. , Fövényesi Ildikó , Havas J. , Herényi I. , Joó István , Juhász Ágnes , Kádas S. , Kalmár I. , Kloknicer I. , Korchmáros G. , Králik I. , Lakatos L. , Langer T. , Lipták J. , Óhegyi E. , Palla L. , Pintér J. , Recski A. , Sugár L. , Szabó Klára , Szeidl L. , Szeredi P. , Szilágyi P. , Tátray P. , Tiszai I. , Tolnay-Knefély T. , Varga Gabriella , Verdes S.
Füzet:	1966/november, 130 - 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Parabola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/április: 1463. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. a) és b) eset. A parabola definíciója így is fogalmazható: a parabola azon körök középpontjaiból áll, amelyek átmennek az $F$ fókuszon és érintik a $d$ vezéregyenest. Adott $P_{1}$ és $P_{2}$ pontjaink körül megrajzolhatjuk ezt a kört, akár $F$ , akár $d$ adott a felsorolt három elem közül (1. ábra), és ekkor az a) esetben $d$ lehetséges helyzeteit a két kör külső közös érintői adják, a b) esetben pedig $F$ lehetséges helyzeteit a két kör közös pontjai, végül a tengely mindig az $F$ -en átmenő, $d$ -re merőleges egyenes lesz.

1. ábra

Az a) esetben csak akkor nincs megoldás, ha a két kör

F

-ben éppen érinti egymást, és egyikük benne van a másikban, azaz ha

F

P_{1}

P_{2}

ebben a sorrendben egy egyenesen van, hiszen

P_{1} P_{2}

húrja a parabolának és

F

csak belső pont lehet. Minden más helyzet esetén nyilvánvalóan

2

közös érintője van a köröknek.
A b) esetben már eleve látható, hogy nincs megoldás, ha

d

szétválasztja

P_{1}

-et és

P_{2}

-t, vagy ha pl.

P_{1}

d

-n van. Egyébként

2

megoldás van vagy nincs megoldás aszerint, hogy a két körnek van

2

különböző közös pontja, vagy nincs közös pontjuk. Külső érintkezésük esetén

1

megoldás van; belső érintkezésük esetén viszont nincs megoldás, mert így egyetlen közös pontjuk

d

-n volna, és a fókusz a vezéregyenesre esne; ez a helyzet akkor állna be, ha

P_{1} P_{2} ⊥ d

, a

P_{1} P_{2}

húr párhuzamos lenne a tengellyel, ez pedig lehetetlen.
c) eset. Feltehetjük, hogy

P_{1}

és

P_{2}

t

tengely két partján van, éspedig

P_{2}

távolabb van

t

-től, mint

P_{1}

, mert a parabola szimmetrikus

t

-re, a pontok

P'_{1}

P'_{2}

tükörképe is a parabolán van, így

P_{1} P_{2}

nem lehet sem párhuzamos

t

-vel, sem merőleges rá.
Amennyiben

P_{1}

rajta van

t

-n, akkor ez a parabola

C

csúcsa, és az itt

t

-re állított

c

merőleges a csúcsérintő, ennek ismert tulajdonságai alapján könnyen célba jutunk:

P_{2}

-nek

c

-n levő vetületét

Q_{2}

-vel, a

P_{1} Q_{2}

szakasz felezőpontját

R_{2}

-vel jelölve a

P_{2} R_{2}

-re

R_{2}

-ben állított merőleges

t

-ből az

F

-et, a

P_{2} Q_{2}

egyenesből pedig a

d

-vel való metszéspontját metszi ki. (Ezután

P_{1}

nem lehet a

t

-n.)

2. ábra

P_{2}

-nek a

P_{1} P'_{1}

egyenesen levő

S_{2}

vetületéről való távolsága megadja, mennyivel van távolabb

d

-től

P_{2}

, mint

P_{1}

(2. ábra, könnyű ugyanis belátni, hogy a tengelytől távolabbi

P_{2}

pont

d

-től is távolabb van, mint

P_{1}

), így a definíció alapján

P_{2}

és

P_{1}

vezérsugarainak különbségét is megadja:

P_{2} F - P_{1} F = P_{2} S_{2}

. Eszerint az

F

körül

F P_{1}

sugárral írt

k

kör kívülről érinti a

P_{2}

körül

P_{2} S_{2}

sugárral írt

k_{2}

kört. Ezzel

F

megszerkesztését visszavezettük a

P_{1}

P'_{1}

pontokon átmenő és a

k_{2}

kört kívülről érintő

k

kör megszerkesztésére. Ezt az 1406. feladat I. megoldásában¹ láttuk. Itt

P_{1}

P'_{1}

k_{2}

-re nézve külső pontok (egyik sem azonos

S_{2}

-vel), ezért

k

csak kívülről érintheti

k_{2}

-t. A szerkesztést az ábra mutatja. Ez valamivel egyszerűbb az idézett helyen leírtnál, hiszen a

H

-ból

k_{2}

-höz húzható érintő hossza már ismeretes: a

H S_{2}

szakasz. (A várható második

k

kör elfajult a

P_{1} P'_{1}

egyenessé.) Ezután

d

-t az a) eset szerint szerkeszthetjük. (Az olvasóra hagyjuk annak bizonyítását, hogy az adódó közös érintők egyike merőleges

t

-re.)

Bod Judit (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. III. o. t.)

Szabó Klára (Esztergom, Dobó Katalin g. III. o. t.)

Megjegyzés. Többen a szerkesztést így vélték befejezni: ,,megszerkesztem azt a hiperbolát, melynek fókuszai

P_{1}

P_{2}

, és valós tengelyének hossza a

P_{2} S_{2}

szakasz, ez metszi ki

t

-ből

F

-et.'' ‐ Ez helytelen. Az adatokból a hiperbolának tetszés szerinti ‐ de csak véges ‐ számú pontja szerkeszthető meg. Éppen fordítva, ha valahol hiperbola és egyenes metszéspontjának megszerkesztése a feladat, ezt a fenti vagy más efféle szerkesztéssel szokás végrehajtani.
A további megoldásokban csak a c) esettel foglalkozunk, és ebben is az adott pontokat

t

-n kívülieknek vesszük

II. megoldás. Messe a

P_{1}

és

P_{2}

körüli,

F

-en átmenő körök metszéspontjait összekötő egyenes (ill. érintkezésük esetén a közös belső érintőjük)

d

-t az

E

pontban (1. ábra).

E

felezi a köröknek

d

-n levő

D_{1}

D_{2}

érintési pontjai közti szakaszt, hiszen

E D_{1}^{2} = E F \cdot E F' = E D_{2}^{2}

. Eszerint

E

rajta van a

P_{1} P_{2}

szakasz

G

felezőpontján átmenő, és a

t

-vel párhuzamos

g

egyenesen is. Másrészt

E F

merőleges

P_{1} P_{2}

-re, mint a körök centrálisára, továbbá

F D_{1}

felező merőlegese átmegy

P_{1}

-en.
Ezek alapján

F

-et és

E

-t a következőképpen szerkeszthetjük. A

P_{1}

-en át

t

-vel párhuzamosan húzott egyenes tetszés szerinti

D_{1}^{*}

pontjában állított merőleges messe

g

-t

E^{*}

-ban, az

E^{*}

-ból

P_{1} P_{2}

-re bocsátott merőleges

t

-t

F^{*}

-ban,

D_{1}^{*} F^{*}

felező merőlegese

D_{1}^{*} P_{1}

-et

P_{1}^{*}

-ban.

F^{*}

-ból

t

-re és

E^{*}

-ból

g

-re

P_{1}^{*} P_{1}

-gyel egyenlő és egyirányú szakaszt mérve, megkapjuk

F

-et és

E

-t, végül az

E

-ből

t

-re állított merőleges adja

d

-t.

Joó István (Pannonhalma, Bencés g. III. o. t.)

Megjegyzés. A fentiekben a következő tételt találtuk: a parabola bármely húrjára a fókuszból állított merőleges átmegy a húr felezőpontjának a vezéregyenesen levő vetületén.

III. megoldás. Megszerkesztjük a parabola

C

csúcsának helyzetét és

p

paraméterének hosszát. Ekkor

C

-től

t

-n mindkét irányba

p / 2

szakaszt fölmérve

F

-et, ill.

d

-nek tengelypontját kapjuk. (

F

az, amely közelebb van

P_{1}

-hez.) A koordináta- geometria eljárásait használjuk, origónak (a még ismeretlen)

C

-t,

X

-tengelynek

t

-t vesszük, így a parabola egyenlete

y^{2} = 2 p x

;

P_{i}

koordinátái legyenek (

x_{i}

y_{i}

i = 1

2

, ahol föntebbi megállapodásainkat fenntartva

x_{2} > x_{1} > 0

, és

y_{2} > 0

. Így a

P_{1} P_{2}

egyenes

α

irányszöge pozitív hegyes szög (3. ábra), és

\begin{matrix} tg α = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = (y_{2} - y_{1}) : (\frac{y_{2}^{2}}{2 p} - \frac{y_{1}^{2}}{2 p}) = \frac{p}{(y_{1} + y_{2}) / 2}, \\ p = \frac{y_{1} + y_{2}}{2} \cdot tg α . \end{matrix}

Eszerint a

P_{1} P_{2}

húr

M

felezőpontján át a húrra és a tengelyre állított merőlegesek közé a tengelyből

p

hosszúságú szakasz esik, hiszen a keletkező derékszögű háromszögben a két merőleges közti szög

α

, és a

t

-re merőleges befogó

M

ordinátája:

(y_{1} + y_{2}) / 2

(ami

> 0

).
A

C P_{1}

egyenes és a

P_{2}

-n át

t

-re állított

R P_{2}

merőleges

Q

metszéspontjának ordinátája

\begin{matrix} R Q = \frac{y_{1}}{x_{1}} \cdot x_{2} = y_{1} \cdot \frac{y_{2}^{2}}{y_{1}^{2}} = \frac{y_{2}^{2}}{y_{1}}, \end{matrix}

ebből

Q

megszerkeszthető (lásd

P'_{1}

R'

R''

), és

Q P_{1}

kimetszi

t

-ből

C

-t.
Megjegyzések. 1. Számos más szerkesztés található a dolgozatokban

p

és

x_{i}

hosszának előállítására, többnyire az ún. negyedik arányos, ritkábban a derékszögű háromszögben középarányos szerkesztése, vagy Pitagorasz tétele alapján. Gyakori a segédábra használata, ilyen után a megszerkesztett szakaszt még át kell mérni a kellő helyzetbe. Többen a parabola egyenletét

y = x^{2}

alakban használták és megszerkesztették az egységszakasz hosszát, ami lényegében

p

szerkesztése, hiszen itt

p = 1 / 2

.
2.

C

-t a

p

fölhasználásával is szerkeszthetjük. Ismeretes, hogy a parabola érintője a csúcsérintőből fele akkora szakaszt metsz le, mint az érintési pontnak a tengelytől való távolsága. Ezt a

P'_{2}

pontra alkalmazva a 3. ábrán

C N = R P'_{2} / 2

, és továbbmenve azt kapjuk, hogy az érintő

t

-t az

R

pontnak

C

-re vett

R_{1}

tükörképében metszi, azaz

R R_{1} = 2 x_{2} = y_{2}^{2} / p

. Eszerint

R_{1}

az iménti eljáráshoz hasonlóan megkapható:

R R_{2} = p

-t fölmérve

t

-re (úgy, hogy

R_{2} P_{1} > R P_{1}

legyen) az

R_{2} P'_{2}

-re

P'_{2}

-ben állított merőleges

t

-ből kimetszi

R_{1}

-et, és ekkor

R R_{1}

felezőpontja

C

3. ábra

Eljárásunk egyszerűsíthető, észrevéve, hogy

R_{1}

-et éppen a

P'_{2}

-beli

e'_{2}

érintővel metszettük ki, hiszen így

R P'_{2}

felező merőlegese

N

-ben metszi

e'_{2}

-t,

R_{1}

előállítása mellőzhető,

N

vetülete

C

. ‐ Ekkor

F

-et az

e'_{2}

-re

N

-ben emelt merőleges (ami

| | R_{2} P'_{2}

) is kimetszheti

t

-ből.

Bottyán István (Hatvan, Bajza J. g. III. o. t.)

3. Még egyszerűbb

C

szerkesztésére a következő eljárás. A

P_{1} P_{2}

szelő egyenlete

2 p x - (y_{1} + y_{2}) y + y_{1} y_{2} = 0

, innen a szelő és a tengely

S'

metszéspontjának abszcisszája

y = 0

helyettesítéssel

x' = - y_{1} y_{2} / 2 p

. Ebből a

P'_{1} P_{2}

szelő

S''

metszéspontjára nézve,

y_{1}

helyére a negatívját írva

x'' = - x'

. Eszerint

C

a tengelyből a

P_{1} P_{2}

és

P'_{1} P_{2}

egyenesek közé eső

S' S''

szakasz felezőpontja.

¹Lásd K. M. L. 33 (1966) 55. o.