|
Feladat: |
1462. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Antos P. , Balázs Katalin , Baróthy B. , Bod Judit , Csirmaz L. , Cziffra A. , Dabóczi Á. , Deák J. , Dévényi K. , Domokos László , Farkas I. , Fencsik G. , Ferencz L. , Gács P. , Herényi I. , Horváth S. , Joó I. , Juhász Ágnes , Kloknices I. , Korchmáros G. , Langer T. , Medgyesy K. , Medveczky M. , Nédai L. , Papp Z. , Radó P. , Recski A. , Szabó Klára , Szeidl L. , Szeredi Péter , Tiszai István , Verdes S. |
Füzet: |
1967/november,
107 - 108. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Trigonometriai azonosságok, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1966/április: 1462. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. a) Az ábrát az alábbiak szerint kapjuk az középpontú, sugarú körből és az alkalmas külső pontból kiindulva.
Legyen és a körüli, sugarú kör egyik metszéspontja , messe a egyenes -t másodszor -ben úgy, hogy , végül messe a körüli, sugarú kör a szakasz -n túli meghosszabbítását -ben. Így , és egyenlő szárú háromszögek. Legyen még , és vetülete -ra, ill. -ra rendre , , , továbbá ; ekkor , azaz mert a , és derékszögű háromszögek nyilvánvalóan hasonlók. Az első két hányados egyenlőségéből ezt az utolsó két hányados egyenlőségébe helyettesítve rendezés után (1)-et kapjuk. -re addig teljesül , míg tompaszög, azaz míg , továbbá -re addig teljesül , míg , egybevetve, míg . b) A szög értéke egyértelműen meghatározza az ábrát, s így és értékét is. Az adott értékek mellett ‐ amelyekre teljesül a feltétel ‐ valamelyik meghatározására nyerhetünk (1)-ből egyenletet. esetén , és , a háromszög egyenlő szárú, , (2) alapján és (1), így alakul: -et most már számíthatjuk akár (1)-ből, akár (3)-ból, de kezdhetjük ennek kiszámításával is, ugyanis az és egyenlő szárú háromszögek hasonlók, mert -nél levő szögük közös. Így | | Ezt (1)-be írva, -nel végigszorozva az egyenletet és rendezve c) esetén , tehát , -re pedig (1)-ből az egyenlet adódik.
Domokos László (Tatabánya, Árpád G.) Szeredi Péter (Budapest, II. Rákóczi F. G.) II. megoldás a feladat első részéhez. és kifejezhetők -vel: , , így (1) helyett azt kell bizonyítanunk, hogy a csupán egy változót tartalmazó egyenlőség minden -re fennáll ‐ hacsak teljesül az I. megoldásban talált korlátozás ‐, vagyis hogy (4) azonosság. Valóban, (4) a képletgyűjteményekből ismert, de enélkül is gyorsan kiadódó
azonosság más alakja. Az összefüggést a szögekre is kiterjeszthetjük. Ekkor célszerű az -vel egyirányú -t tekinteni pozitívnak, s így áll fenn minden helyzetben.
Tiszai István (Budapest, Toldy F. g. IV. o. t.) |
|