Kezdőlap


Feladat:	1459. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Deák Jenő , Domokos L. , Herényi István , Juhász Ágnes , Kádas S. , Kloknicer I. , Külvári I. , Langer T. , Pintér J. , Szeredi P.
Füzet:	1967/május, 213 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletrendszerek grafikus megoldása, Fizikai jellegű feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/április: 1459. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A Nap rektaszcenziója május 20-án $0^{h}$ -tól $24^{h}$ -ig $3^{m} 59, 87^{s} = 3, 9978^{m}$ -mal nő. Ebből $1^{h}$ -ra esik $0, 16658^{m}$ , így a $t^{h}$ -kor érvényes rektaszcenzió, idő‐percre átszámítva

\begin{matrix} R A_{N} (t) = 3^{h} 45, 1795^{m} + 0, 16658^{m} \cdot t . \end{matrix}

(1)

A Hold esetében a növekedés

1^{h}

alatt

2^{m} 14, 27^{s} = 2, 2378^{m}

, így

\begin{matrix} R A_{H} (t) = 3^{h} 44, 8917^{m} + 2, 2378^{m} \cdot (t - 9) = 3^{h} 24, 7515^{m} + 2, 2378^{m} \cdot t . \end{matrix}

(2)

Most már a két rektaszcenzió egyenlővé válásának időpontja az

R A_{N} (t) = R A_{H} (t)

egyenletből

\begin{matrix} t_{R A} = \frac{3^{h} 24, 7515^{m} - 3^{h} 45, 1795^{m}}{0, 1666^{m} - 2, 2378^{m}} = 9, 8628 óra = 9^{h} 51^{m} 46^{s} . \end{matrix}

Hasonlóan kapjuk a deklináció, a longitúdó és a latitúdó megegyezésének időpontját, minden adatot fokra átszámítva:

\begin{matrix} D_{N} = 19, 8381^{\circ} + 0, 008741^{\circ} \cdot t_{D} = 20, 1248^{\circ} + 0, 1701^{\circ} \cdot (t_{D} - 9) = D_{H}, \\ t_{D} = \frac{20, 1248^{\circ} - 1, 5309^{\circ} - 19, 8381^{\circ}}{0, 0087^{\circ} - 0, 1701^{\circ}} = 7, 7108^{h} = 7^{h} 42^{m} 39^{s} . & (3) \end{matrix}

(Ez az időpont kívül esik a Hold‐adatokat tartalmazó intervallumon, ami előre látható, hiszen már a

9^{h}

-kor érvényes

D_{H}

adat is nagyobb a

24^{h}

-kor érvényes

D_{N}

adatnál; ez lineáris extrapoláció.)

\begin{matrix} L O_{N} = 58, 5389^{\circ} + 0, 04011^{\circ} \cdot t_{L O} = 53, 6073^{\circ} + 0, 5477^{\circ} \cdot t_{L O} = L O_{H}, \\ t_{L O} = \frac{53, 6073^{\circ} - 58, 5389^{\circ}}{0, 0401 - 0, 5477} = 9, 7123^{h} = 9^{h} 42^{h} 44^{s} . \\ L A_{N} = 0 = - 0, 1601^{\circ} + 0,05056 \cdot t_{L A} = L A_{H}, \\ t_{L A} = \frac{0, 1601^{\circ}}{0, 05056^{\circ}} = 3, 1672^{h} = 3^{h} 10^{m} 2^{s} . \end{matrix}

Eredményeink ‐ kisebb pontossággal ‐ az 1. ábráról is leolvashatók. Ez a 4-féle koordinátának a

0^{h} - 12^{h}

időben való változását tünteti fel, az egyenletesnek tekintett változásnak megfelelően minden grafikon egyenes. Az ábra 4 egymástól független grafikon‐pár egyesítése, bennük csak az idő‐tengely közös. Az ordináta‐tengely 4-féle skálázása ‐ egységük és 0-pontjuk különböző voltára tekintettel ‐ párhuzamos egyeneseken külön‐külön van feltüntetve. Az egynemű koordináták grafikonjainak metszéspontja két koncentrikus köröcskével van jelölve.

\begin{matrix} 1. ábra \end{matrix}

II. A grafikonról a készítendő vázlat céljára közelítőleg leolvasható az égitesteknek a talált 4 egyezési időpontra vonatkozó rektaszcenziója, deklinációja is, a megfelelő pontok az

R A

- és

D

-grafikonokon egy köröcskével vannak jelölve. A Hold

3^{h} 10^{m}

-kor érvényes koordinátái azonban kiesnek a grafikon értékkészletéből.
A koordináták több jegyre pontosabb értéke (1)-ből, (2)-ből, ill. (3) bal és jobb oldalából számítható

t

talált értékei alapján. Ezeket tartalmazza az alábbi táblázat mindjárt óra, percre, ill. fokra átszámítva.

\begin{matrix} Időpont \\ Nap & Hold \\ RA & D & RA & D \\ 3, 1672^{h} \\ 3^{h} 45, 70^{m} & 19, 866^{\circ} & 3^{h} 31, 83^{m} & 19, 133^{\circ} \\ Lat. -egyezés \\ 7, 7108^{h} \\ 3^{h} 46, 47^{m} & 19, 906^{\circ} & 3^{h} 42, 0^{m} & 19, 906^{\circ} \\ D-egyezés \\ 9, 7123^{h} \\ 3^{h} 46, 8^{m} & 19, 923^{\circ} & 3^{h} 46, 47^{m} & 20, 246^{\circ} \\ Long.-egyezés \\ 9, 8628^{h} \\ 3^{h} 46, 82^{m} & 19, 924^{\circ} & 3^{h} 46, 82^{m} & 20, 272^{\circ} \\ RA-egyezés \end{matrix}

Vázlatunkon az azonos deklinációjú (szélességi) körök ívét egyenesnek rajzoljuk, úgyszintén az azonos rektaszcenziójú körök (délkörök, gömbi főkörök) íveit is. A délkör

1^{\circ}

-át 30 mm-rel ábrázoljuk. A rektaszcenzió léptékének megállapításában egyrészt az veendő figyelembe, hogy

1^{h}

megfelel

15^{\circ}

-nak, vagyis 5 idő‐perc

1, 25^{\circ}

-nak. Másrészt az, hogy

D

-adataink

20^{\circ}

körüli értékek, és a képzelt éggömbön a

20^{\circ}

-os deklinációs kör kerülete ‐ mint a földgömbön a

20^{\circ}

-os szélességi köré ‐ (az Egyenlítő és) a délkör kerületéből

cos 20^{\circ} \approx 0, 94

-dal való szorzással adódik. Ezért a vízszintes tengelyen 5 idő‐percet

1, 25 \cdot 30 \cdot 0, 94 \approx 35, 2

mm-rel kell ábrázolnunk.

Herényi István (Budapest, I. István g. IV. o. t.)
Deák Jenő (Budapest, Kölcsey F. g. IV. o. t.)

\begin{matrix} 2. ábra \end{matrix}

Megjegyzés. Akik annak idején figyelték a szóban forgó fogyatkozást (Magyarországról, azaz

46^{\circ} - 48^{\circ}

északi szélességű helyekről), azok a Holdat a Napkorong alsó széle előtt látták elhaladni. 2. ábránk ezzel szemben a Föld középpontjából ‐ ill. a

D

-adatoknak megfelelően a Föld felületén kb. a

20^{\circ}

északi szélességű helyekről ‐ látott helyzetet vázolja, a Hold följebb (vagyis az Északi Sark felé) halad a Napnál. (Ezeken a helyeken a fogyatkozást a zenitben látták.) A teljes fogyatkozás sávja ‐ ahol a Nap és Hold középpontja látszólag egybeesett ‐, Athénen (

38^{\circ}

szélesség) és Istambulon (

41^{\circ}

) haladt át (

9^{h} 31^{m}

-kor, ill.

9^{h} 46^{m}

-kor, közép‐európai időben

10^{h} 31^{h}

-kor,

10^{h} 46^{m}

-kor).