Feladat: 1451. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Farkas Péter ,  Medveczky Mihály ,  Sásdy Béla 
Füzet: 1966/december, 211. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Másodfokú diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/március: 1451. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a két szám x és y, így

(x+y)2=x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2),
és mivel x+y>0,
x+y=x2-xy+y2.(1)
Tekintsük y-t paraméternek és oldjuk meg az egyenletet x-re. Rendezzük az egyenletet x szerint és egészítsük ki teljes négyzetté a bal oldalt, előbb 4-gyel beszorozva:
x2-(y+1)x+(y2-y)=0,(2x-y-1)2=-3y2+6y+1=4-3(y-1)2.


Eszerint a jobb oldal nem nagyobb 4-nél, és csak y-1=0 és y-1=±1 esetén nem adódik rá negatív érték. Az első esetben y=1, és x pozitív értéke x=2. A második esetben csak az y=2 érték pozitív, ebből x=1, ismét az előbbi számpárt kaptuk.
Ezek szerint a követelményeknek csak az 1, 2 számpár felel meg.
 
Sásdy Béla (Szentendre, Ferences g. III. o. t.)

 
II. megoldás. Osszuk (1)-et a (pozitív) xy szorzattal. Átrendezés után
1y+1x=xy-1+yx,x-1y+y-1x=1,
és a bal oldalon egyik tört sem negatív. Válasszuk a jelölést úgy, hogy x>y legyen, így az első tag
x-1y≥yy=1,tehaty-1x≤0.
Ez csak y=1 esetén teljesül, így pedig x=2.
 
Medveczky Mihály (Szombathely, Latinka S. gépip. t. III. o. t.)

 
Megjegyzés. A fentitől nem lényegesen különböző megoldást kapunk (1)-ből xy-t levonva: x+y-xy=(x-y)2≥1, vagyis xy-x-y+1=(x-1)(y-1)≤0, de negatív sem lehet a szorzat, mert x, y pozitív egész szám, tehát x, y egyike 1, és akkora másikra 2 adódik.
 
Farkas Péter (Budapest, I. István g. I. o. t.)