Kezdőlap


Feladat:	1450. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bottyán I. , Cziffra A. , Deák J. , Domokos L. , Faragó T. , Gáspár A. , Gegesy F. , Herényi I. , Kádas S. , Karsai István , Külvári I. , Marschik I. , Páldi Annamária , Palla L. , Pintér J. , Pintz J. , Recski A. , Szentgáli Adám , Szeredi P. , Szilágyi P. , Verdes S.
Füzet:	1967/január, 15 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lánctörtek, Valós számok és tulajdonságaik, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/március: 1450. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A jobb oldali tört tizedestört alakja tiszta szakaszos: $222, 222 ...$ A bal oldal viszont $\sqrt[]{7 \cdot 84^{2}} = \sqrt[]{49 392} = 222, 243 ...$ , a közelítő egyenlőség (1)-ben 1 tizedes jegyig, más szóval a negyedik értékes jegyig áll fenn.
A jobb oldal másképpen $2000 / 9$ , így

\begin{matrix} \sqrt[]{7} \approx \frac{2000}{9 \cdot 84} = \frac{500}{189} . \end{matrix}

(2)

A lánctört-kifejtés az ajánlott példák mintájára:

\begin{matrix} 2 < \sqrt[]{7} < 3 miatt \sqrt[]{7} = 2 + \frac{1}{x}, ahol x = \frac{1}{\sqrt[]{7} - 2} = \frac{\sqrt[]{7} + 2}{3}, \\ 1 < x < 2 miatt x = 1 + \frac{1}{y}, ahol y = \frac{1}{x - 1} = \frac{3}{\sqrt[]{7} - 1} = \frac{\sqrt[]{7} + 1}{2}, \\ 1 < y < 2 miatt y = 1 + \frac{1}{z}, ahol z = \frac{1}{y - 1} = \frac{2}{\sqrt[]{7} - 1} = \frac{\sqrt[]{7} + 1}{3}, \\ 1 < z < 2 miatt z = 1 + \frac{1}{u}, ahol u = \frac{1}{z - 1} = \frac{3}{\sqrt[]{7} - 2} = \sqrt[]{7} + 2, \end{matrix}

4 < u < 5

és az első sor miatt

u = 4 + x

.
Ennélfogva a kifejtés első négy jegye (a 2 egész után) 1, 1, 1, 4, majd ezek szakaszosan ismétlődnek:

\begin{matrix} \begin{matrix} \sqrt[]{7} = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{4 + \frac{1}{1 + ...}}}}} \end{matrix} \end{matrix}

Első három közelítő törtje:

\begin{matrix} 2 + \frac{1}{1} = \frac{3}{1}, 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}} = \frac{5}{2}, 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}} = \frac{8}{3}; \end{matrix}

hasonlóan a negyedik, a jegyeket az első 4-es jegyig figyelembe véve

37 / 14

. Ez az előző két közelítő tört számlálójával és nevezőjével, valamint az újonnan figyelembe vett 4-es jeggyel így írható:

\begin{matrix} \frac{37}{14} = \frac{8 \cdot 4 + 5}{3 \cdot 4 + 2} . \end{matrix}

Nem nehéz megmutatni teljes indukcióval¹, hogy ha egy lánctört

k - 2

-edik és

k - 1

-edik közelítő törtjének számlálója és nevezője rendre

S_{k - 2}

N_{k - 2}

S_{k - 1}

N_{k - 1}

, és következő,

k

-adik jegye

q_{k}

, ezekből a

k

-adik közelítő tört (ill. a számlálója és nevezője) a számpéldából sejthetően

\begin{matrix} \frac{S_{k}}{N_{k}} = \frac{S_{k - 1} \cdot q_{k} + S_{k - 2}}{N_{k - 1} \cdot q_{k} + N_{k - 2}} . \end{matrix}

(3)

Ennek alapján a következő négy közelítő tört (az 1, 1, 1, 4 jegyekkel) gyorsabban kiszámítható:

\begin{matrix} \frac{37 \cdot 1 + 8}{14 \cdot 1 + 3} = \frac{45}{17}, \frac{45 + 37}{17 + 14} = \frac{82}{31}, \frac{82 + 45}{31 + 17} = \frac{127}{48}, \\ \frac{127 \cdot 4 + 82}{48 \cdot 4 + 31} = \frac{590}{223} . \end{matrix}

A továbbiak számlálója is, nevezője is nagyobb, így (2) jobb oldala nem közelítő törtje a lánctört-kifejezésnek. Ez az állítás a gyök, valamint a közelítő törtek és (2) jobb oldalának tizedestört alakjából is látható:

\begin{matrix} \sqrt[]{7} & = 2, 645 75 ..., & 82 / 31 & = 2, 645 16 ... \\ 500 / 189 & = 2, 645 50 ..., & 127 / 48 & = 2, 645 83 ... \\ 590 / 223 & = 2, 645 73 ... \end{matrix}

(2) jobb oldala jobban eltér

\sqrt[]{7}

-től, mint a kisebb számlálóval és nevezővel bíró

127 / 38

; a

82 / 31

-nél viszont már jobban közelít.

Szentgáli Ádám (Budapest, Ady E. Ált. Isk. és Gimn. III. o. t.)

Karsai István (Szeged, Radnóti M. g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. A lánctört-kifejtésnek

q_{k} > 1

esetén lehet képezni ún. mellék-törtjeit, ha

q_{k}

helyére rendre az

1, 2, ..., q_{k} - 1

egész számokat írjuk be. Ezek (3) szerint

S_{k}

-nál kisebb számlálójú és

N_{k}

-nál kisebb nevezőjű közelítő törtet adnak, de ‐ az alábbi példák szerint ‐ kevésbé jól közelítik a gyököt, ugyanis a második 4-es jegy helyett rendre 1-et, 2-t, 3-at téve

\begin{matrix} \frac{127 \cdot 1 + 82}{48 \cdot 1 + 31} & = \frac{209}{79} = 2, 645 56 ... \\ \frac{127 \cdot 2 + 82}{48 \cdot 2 + 31} & = \frac{336}{127} = 2, 645 66 ... \\ \frac{127 \cdot 3 + 82}{48 \cdot 3 + 31} & = \frac{463}{175} = 2, 645 71 ... \end{matrix}

(2) jobb oldala ezek közé sem tartozik ‐ és már az első is jobban közelít nála.

¹ Ajánljuk az olvasóknak a bizonyítás végrehajtását. Megindulásul az indukciós feltevésben írjanak

q_{k - 1}

helyére

q_{k - 1} + 1 / q_{k} - t