|
Feladat: |
1445. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Antos P. , Argyelán J. , Bajna Zs. , Bárány Imre , Bod Judit , Cziffra A. , Deák J. , Domokos L. , Füvesi I. , Gáspár A. , Havas J. , Herényi I. , Iváncsy Sz. , Kádas S. , Kloknicer I. , Králik I. , Kuli Mária , Langer T. , Pintér J. , Sásdy B. , Szeredi P. , Szilágyi P. , Tiszai I. , Varga Gabriella |
Füzet: |
1967/február,
61 - 63. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Körülírt kör, Kör egyenlete, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Parabola, mint mértani hely, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1966/február: 1445. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész. Az által leírt kör középpontja az szakasz felezőpontja, sugara , és az -re merőleges átmérő egyik végpontja. Ezért elég -et pl. az negyedíven végigfuttatni, hiszen ekkor -re és -re mint tengelyre, valamint -ra mint középpontra vett tükörképei ‐ rendre , , ‐ leírják további három negyedívét, és az , szakasz‐pár (, , ) megegyezik az , párral. Így pedig az helyzethez akkor és csak akkor szerkeszthető meg a kívánt háromszög, ha -hez megszerkeszthető.
A választott negyedkörív pontjaira , ezért a háromszög szerkeszthető voltának egyetlen feltétele: | | (1) |
Itt a bal oldal pozitív vagy 0, ezért az egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül, amikor a négyzetre emeléssel adódó egyenlőtlenség: Itt a kivonandó az derékszögű háromszög területének 4-szerese, az első két tag összege pedig , ezért átrendezéssel és a területet az átfogóra vonatkozó magassággal kifejezve a feltétel | | (3) | amiből osztással ( alapján) Eszerint -nak azokon az és ívein levő pontjai felelnek meg -ként, amelyeket az -re merőleges átmérőt negyedelő , pontokon át -vel párhuzamosan húzott szelők metszenek le. Az ívek végpontjai azonban már nem felelnek meg, mert ezekre (4)-ben egyenlőség áll fenn, és mivel azonos átalakításokat hajtottunk végre, visszamenve (1)-ben is egyenlőség áll, tehát elfajult háromszög jönne létre.
Bárány Imre (Budapest, Corvin Mátyás g. IV. o. t.) dolgozata alapján
II. rész. -nek egy az -n levő helyzetéhez részére két helyzet adódik, és , ezek a tengelyre nézve tükrös pontpárt alkotnak. Ugyanez a pontpár adódik ki -nek fenti tükörképéből is. Az -nek fenti és tükörképeiből adódó , pontpár viszont ‐ az indexek kellő választásával ‐ nyilvánvalóan és tükörképe felező merőlegesére nézve. Így egyszersmind tükörképe a szakasz felezőpontjára nézve, tehát a négyszög paralelogramma. Ebben az oldalak négyzetösszege állandó, úgyszintén a átló négyzete is állandó. Ezért ismert tétel szerint az átló négyzete is állandó és -tel egyenlő. Ezért egyenlő -vel, a oldal fölé szerkesztett egyenlő oldalú háromszög magasságával ( akkor adódik, ha a -ben van), és így mindig a körül sugárral írt körön van. Megmutatjuk, hogy míg befutja -t, a kör minden pontjába eljut. számára most már és fent kizárt végpontjai is figyelembe veendők, mert a követelmény nem írja elő, hogy , és valódi háromszöget alkossanak. -et -ben, majd -ben választva (1)-ben egyenlőség áll, a kör -n levő átmérőjének , ill. végpontjában adódik . A körön tetszés szerint választott -re nézve így hossza és hossza közé esik, -é pedig és közé, vagyis mindkettő és hossza közé, így az -et előállító pontot -ból akár az körüli sugarú, akár a körüli sugarú körrel kimetszhetjük, hiszen e két kör miatt ugyanabban a pontban metszi -t. Ezek szerint pályája a kör.
Megjegyzés. III‐IV. osztályos versenyzőink frissebb ismeretanyaguk, a trigonometria és a koordináta‐geometria eszközeivel vizsgálták a feladat II. részét, erre tekintettel vázolunk egy ilyen típusú megoldást is. Legyen , és ; ekkor , , , és (1) második alakjából
és így , ill. . Legyen továbbá egy derékszögű koordinátarendszer -tengelye az , -tengelye az egyenes, , , , és koordinátái rendre: | |
Ezekkel -ből | |
-ből | | és kiküszöbölésével (összeadással) | | vagyis pályája a pont ‐ felezőpontja ‐ körüli sugarú kör, vagy ennek része. Most még bizonyítani kellene, hogy ezt az egész körkerületet befutja, ami ezen a módon nehézkesebb volna. Paralelogramma oldalainak négyzetösszege egyenlő az átlók négyzetösszegével. Lásd legutóbb 1040. gyakorlat, K. M. L. 33 (1966. nov.) 152. o. |
|