Feladat: 1441. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Argyelán J. ,  Bajna Zs. ,  Bárány I. ,  Baróthy B. ,  Bottyán J. ,  Csikós M. ,  Deák J. ,  Domokos L. ,  Faragó T. ,  Füvesi I. ,  Gáspár A. ,  Halász F. ,  Havas J. ,  Herényi I. ,  Iváncsy Szabolcs ,  Joó I. ,  Kádas S. ,  Karsai I. ,  Kelle P. ,  Kiss Á. ,  Kloknicer I. ,  Králik I. ,  Külvári I. ,  Langer T. ,  Lublóy L. ,  Palla L. ,  Pintér J. ,  Pintz J. ,  Solymosi A. ,  Szabó Klára ,  Szeidl L. ,  Szeredi P. ,  Szilágyi P. ,  Tényi G. ,  Tihanyi L. ,  Tolnay-Knefély T. ,  Varsányi Anikó 
Füzet: 1966/szeptember, 14 - 15. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Mértani sorozat, Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/február: 1441. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a sorozat i-edik tagja ai, hányadosa q. A tagok a1-től a5-ig 9-jegyűek, a6-tól a10-ig 10-jegyűek, a11-től a14-ig 11-jegyűek. Így a10 jegyeinek száma még csak 1-gyel több a1 jegyeinek számánál, ezért a10=a1q9<100a1, q9<100; innen lgq<2/90,2223, q<1,67. Másrészt a15 jegyeinek száma 2-vel több a10 jegyeinek számánál, ezért a15>10a10, azaz a1q14>10a1q9, innen lgq>1/5=0,2, és q>1,58; összefoglalva 1,58<q<1,67.
q racionális szám, mert két egész szám hányadosa, tehát írható p/r alakban, ahol p és r egymáshoz relatív prím pozitív egész számok, továbbá r>1, mert q nem lehet egész. Mivel a16=a1q15=a1p15/r15 egész szám, azért r15 osztója a1-nek, a1=kr15, ahol k természetes szám, így r15a1<109, innen lgr<9/15=0,6, tehát r<4, vagyis r értéke 2 vagy 3.
Nem lehet azonban r=2, mert úgy p csak páratlan lehet, márpedig 3/2<1,58 és 5/2>1,67. A maradó r=3 esetében p=5 az egyetlen megfelelő érték, mert 4/3<1,58<5/3<1,67<7/3. Így q=5/3.
k meghatározására kettős egyenlőtlenséget kapunk abból, hogy a1108, azaz k108/315, és a10=a1q9<1010, azaz k<1010/(315q9). Az elsőhöz felhasználjuk, hogy 315=2433, ugyanis lg243 még kivehető a táblázatunkból: lg2432,3856>2,38555, így lgk8-7,15665=0,84335, és k>6. A másodikból

k<1010315(5/3)9=2105103659=291036=5120729<8.

Ezek szerint k=7, így a1=7315=100442349, és ai=7316-i5i-1. Az utolsó tag, a16=213623046875, már nem osztható 3-mal.
 
Iváncsy Szabolcs (Miskolc, Villamosenergiaip. t., IV. o. t.)