Kezdőlap


Feladat:	1439. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajna Zsolt , Kiss Árpád
Füzet:	1966/október, 61 - 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Hozzáírt körök, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/január: 1439. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Használjuk a háromszögben szokásos jelöléseket, legyen továbbá a $k$ körülírt kör sugara $r$ , az adott $A B = c$ oldalhoz hozzáírt $k_{c}$ kör sugara $ϱ_{c}$ . E kör $O_{c}$ középpontja $A B$ -től $ϱ_{c}$ , távolságra van, és az $A B O_{c}$ háromszögből

\begin{matrix} A O_{c} B ∢ = 180^{\circ} - O_{c} A B ∢ - O_{c} B A ∢ = 180^{\circ} - \frac{1}{2} (180^{\circ} - α + \\ + 180^{\circ} - β) = \frac{α + β}{2} = \frac{180^{\circ} - γ}{2} = γ_{1}, \end{matrix}

mert

A O_{c}

B O_{c}

, felezi az

A

-nál, ill.

B

-nél levő külső szöget.

Ezekből a következő szerkesztés adódik.

k

-ba tetszés szerint beillesztjük a

c

húrt,

A B

egyik oldalán vele párhuzamosan

ϱ_{c}

távolságban

e

egyenest húzunk, továbbá ugyanezen oldalán megszerkesztjük az

A B

szakasz

γ_{1}

nyílású

i

látószögkörívét, ahol

γ_{1}

fele akkora, mint az

A B

szakasz látószöge

k

-nak arról az ívéről, amely

A B

-nek ugyanazon partján van, mint

e

. Az

e

és

i

közös

O_{c}

pontja körül megrajzoljuk

k_{c}

-t, és az ehhez

A

-ból és

B

-ből húzott második érintők közös pontja

C

.
Csak azt kell bizonyítanunk, hogy ez a két érintő

k

-n metszi egymást. Valóban, az

A C

B C

érintő az

A B

egyenes képe

A O_{c}

-re, ill.

B O_{c}

-re, így

\begin{matrix} A C B ∢ = 180^{\circ} - C A B ∢ - C B A ∢ = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 2 \cdot O_{c} A B ∢) - \\ - (180^{\circ} - 2 \cdot O_{c} B A ∢) = 2 (O_{c} A B ∢ + O_{c} B A ∢) - 180^{\circ} = \\ = 2 (180^{\circ} - γ_{1}) - 180^{\circ} = γ, \end{matrix}

és

A B

-nek

γ

nyílásszögű látóköríve éppen a

k

-nak az az íve, amely az

A B

egyenesnek

O_{c}

-t nem tartalmazó partján van.
A megoldhatóság feltételei:

c

beilleszthető legyen

k

-ba:

c \leq 2 r

, továbbá

O_{c}

létrejöjjön ‐ vagyis

i

magassága ne legyen kisebb

ϱ_{c}

-nél, ‐ éspedig

i

-nek azon az

A' B'

rész-ívén, amely az

A B

-re

A

-ban és

B

-ben emelt merőlegesek között van, hiszen

k_{c}

érintési pontjának

A

és

B

között kell lennie. Az utóbbi feltétel így írható

\begin{matrix} (C_{1} D =) \frac{c}{2} cotg \frac{γ_{1}}{2} \geq ϱ_{c} > c \end{matrix}

Az utóbbi feltétel szélső oldalainak

c

-vel és

r

-rel való kifejezése bonyolult, mert

γ

-ra

sin γ = c / 2 r

-ből két egymást

180^{\circ}

-ra kiegészítő megoldást kapunk, a megfelelő

γ_{1}

-ek pedig pótszögek.

e

-t és

i

-t

c < 2 r

esetén az

A B

egyenes két oldalán szerkeszthetjük, így a megoldások száma legfeljebb 2; ugyanis

e

-nek és

i

-nek

A B

ugyanazon oldalán adódó 2 metszéspontja nem ad lényegesen különböző megoldásokat, hiszen egymás tükörképei

A B

felező merőlegesére.
Az

i

ív

K

középpontja

k

ugyanazon parton levő

A B

ívének felezőpontja, mert

A K B ∢ = 2 γ_{1} = 180^{\circ} - γ

; ez megkönnyíti

i

szerkesztését. Könnyű belátni, hogy

C

-t az

O_{c} K

egyenessel is kimetszhetjük

k

-ból.

Bajna Zsolt (Esztergom, Bottyán J. műszerip. techn. IV. o. t.)

II. megoldás. Láttuk az I. megoldásban, hogy

c

és

r

meghatározzák

γ

-t, ennélfogva a háromszög

s

fél-kerületét is, hiszen

k_{c}

A C B

szög szárait

C

-től

s

távolságban érinti. Így pedig ismertté válik a beírt

k'

kör érintési pontjának (ugyancsak

C A

-n és

C B

-n)

C

-től való távolsága is, ez ugyanis

s - c

.
Ennek alapján a szerkesztés: egy

r

sugarú

k^{*}

körbe beillesztjük az

A^{*} B^{*} = c

húrt, végpontjain át a kör egy további

C

pontjából félegyeneseket húzva, ezek szöge

γ

(egyik értéke). Megszerkesztjük az

A^{*} C B^{*}

szög szárait érintő,

ϱ_{c}

sugarú

k_{c}

kört, érintési pontjaiból

C

felé fölmérjük

c

-t, a végpontokban a szárakat érintő kör lesz

k'

, végül vesszük

k_{c}

és

k'

egyik közös érintőjét, messe ez

γ

szárait

A

-ban, ill.

B

-ben, ekkor

A B C

egy megfelelő háromszög.
A szerkesztés helyességének bizonyítását, valamint a diszkussziót ‐ hely hiányában ‐ az olvasóra hagyjuk.

A kitűző megoldása

Megjegyzés.

s

és

2 s

ismeretében

a + b

is ismert, így visszajutunk a háromszögnek a

γ

c

a + b

adatokból való megszerkesztésére, ami ismert feladat.

Kiss Árpád (Budapest, Bláthy O. techn. IV. o. t.)