Kezdőlap


Feladat:	1435. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antos P. , Babai L. , Bajna Zs. , Bárány I. , Bottyán I. , Deák J. , Domokos L. , Faragó T. , Föványesi Ildikó , Gács P. , Gáspár A. , Gegesy F. , Havas J. , Herényi I. , Kádas S. , Kalmás I. , Kas P. , Kelle P. , Králik István , Külvári I. , Lakatos L. , Langer T. , Lévai F. , Pintér J. , Piros M. , Somogyi P. , Sugár L. , Szeidl L. , Szeredi P. , Szilágyi P. , Varga Gabriella , Verdes S.
Füzet:	1967/január, 7 - 8. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek helyvektorok koordinátáival, Egyenesek egyenlete, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/január: 1435. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítást teljes indukcióval bizonyítjuk: $n = 2$ esetén az állítás helyes, mert az $x = 1$ egyenes egyenlő távol halad az $x = 0$ és $x = 2$ egyenesektől, ezért $B_{1}$ felezi az $A_{0} A_{2}$ szakaszt, és ismeretes, hogy egy szakasz felezőpontjának ordinátája egyenlő a végpontok ordinátáinak számtani közepével.

Tegyük fel, hogy az állítás helyes,

n

helyére egy bizonyos

k (≧ 2)

természetes számot írva, vagyis a

B_{k - 1}

pont ordinátája

\begin{matrix} b_{k - 1} = \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{k}}{k} = \frac{S_{k}}{k}, \end{matrix}

(1)

ahol

S_{k}

-val az első

k

adat összegét jelöltük. A

B_{k - 1} (k - 1, b_{k - 1})

és a

(k + 1)

-edik adatot ábrázoló

A_{2 k} (2 k, a_{k + 1})

pontokat összekötő egyenes egyenlete:

\begin{matrix} y = b_{k - 1} + \frac{a_{k + 1} - b_{k - 1}}{2 k - (k - 1)} \cdot (x - k + 1), \end{matrix}

ebből az

x = k

abszcisszán levő

B_{k}

pont ordinátája

\begin{matrix} b_{k} = b_{k - 1} + \frac{a_{k + 1} - b_{k - 1}}{k + 1} = \frac{k b_{k - 1} + a_{k + 1}}{k + 1} . \end{matrix}

Ez (1) figyelembevételével így alakítható:

\begin{matrix} b_{k} = \frac{S_{k} + a_{k + 1}}{k + 1} = \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{k} + a_{k + 1}}{k + 1}, \end{matrix}

vagyis csakugyan egyenlő a figyelembe vett adatok számtani közepével. Eszerint az állítás igaz volta minden egyes esetből öröklődik arra az esetre, ha az adatok száma 1-gyel nagyobb. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Králik Ferenc (Budapest, Piarista g. III. o. t.)