Kezdőlap


Feladat:	1434. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Babai L. , Bárány Imre , Barcza Gyöngyi , Bod Judit , Bottyán János , Deák Jenő , Domokos L. , Gáspár A. , Havas J. , Herényi I. , Kádas S. , Kiss Á. , Králik I. , Lakatos L. , Langer T. , Lévai F. , Szabó Klára , Szeidl L. , Szeredi P. , Tolnay-Knefély T.
Füzet:	1966/november, 128 - 129. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/január: 1434. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Azt kell belátnunk, hogy (1) bal oldala első $3$ tagja összegének értéke $i = 1$ , $2$ esetén: $x_{i} (x_{i}^{4} - 5 x_{i}^{2} + 5) = 1$ . Négyzetre emelésekkel, figyelembe véve (3)-at, szorzással és összevonással

\begin{matrix} x_{1}^{2} = (18 + 2 \sqrt[]{5} - \sqrt[]{u} + \sqrt[]{5 u}) / 8, \\ x_{1}^{4} = (58 + 6 \sqrt[]{5} - 2 \sqrt[]{u} + 4 \sqrt[]{5 u}) / 8, \\ x_{1}^{4} - 5 x_{1}^{2} + 5 = (8 - 4 \sqrt[]{5} + 3 \sqrt[]{u} - \sqrt[]{5 u}) / 8, \end{matrix}

ez pedig

x_{1}

gyel szorozva valóban

1

-et ad. Hasonlóan kapjuk, hogy az állítás

x_{2}

-re is teljesül.
Számításunk akkor is érvényes, ha

\sqrt[]{u}

, ill.

\sqrt[]{v}

helyére a negatívját írjuk, eszerint

\begin{matrix} x_{3} = (- 1 + \sqrt[]{5} - \sqrt[]{u}) / 4, x_{4} = (- 1 - \sqrt[]{5} - \sqrt[]{v}) / 4 \end{matrix}

is kielégíti (1)-et. Végül

x_{5} = 1

is gyök, mert az együtthatók összege

0

. Több gyök nincs, mert algebrai egyenletnek legfeljebb annyi szám tesz eleget, mint amennyi az egyenlet fokszáma.

II. megoldás. Az egyenlet egyik gyöke

1

, a bal oldali polinom

\begin{matrix} (x - 1) (x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 1) \end{matrix}

alakban írható.
Ha megmutatjuk, hogy a második tényezőből kiemelhető az

(x - x_{1}) (x - x_{2}) = x^{2} - A x + B

polinom, más szóval alkalmas

α

β

számokra

\begin{matrix} (x^{2} - A x + B) (x^{2} + α x + β) = x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 1, \end{matrix}

(4)

ebből következik, hogy

x_{1}

és

x_{2}

is gyöke az egyenletnek, és

α

és

β

meghatározása után a további két gyököt is kiszámíthatjuk. (2) szerint

A = x_{1} + x_{2} = (\sqrt[]{u} + \sqrt[]{v}) / 4 - 1 / 2,

B = x_{1} x_{2} = (3 \sqrt[]{5} - 1) / 4 - (\sqrt[]{u} + \sqrt[]{5 u} + \sqrt[]{v} - \sqrt[]{5 v}) / 16,

ugyanis

\sqrt[]{u v} = 12 \sqrt[]{5}

. (4) teljesül, ha fennáll, hogy

\begin{matrix} α - A = 1, β - A α + B = - 4, B α - A β = - 4, B β = 1. \end{matrix}

(5)

Az első és utolsó követelmény szerint

\begin{matrix} α = A + 1 = (\sqrt[]{u} + \sqrt[]{v}) / 4 + 1 / 2, β = 1 / B = (1 / x_{1}) \cdot (1 / x_{2}) . \end{matrix}

Mivel továbbá

\begin{matrix} \frac{1}{x_{1}} = \frac{4}{- 1 + \sqrt[]{5} + \sqrt[]{u}} = = \frac{4 (\sqrt[]{u} + 1 - \sqrt[]{5})}{u - {(\sqrt[]{5} - 1)}^{2}} = \\ = \frac{\sqrt[]{u} + 1 - \sqrt[]{5}}{2 (3 + \sqrt[]{5})} = = \frac{(3 - \sqrt[]{5}) \sqrt[]{u}}{8} - \frac{\sqrt[]{5}}{2} + 1, \end{matrix}

és hasonlóan

\begin{matrix} \frac{1}{x_{2}} = \frac{(3 + \sqrt[]{5}) \sqrt[]{v}}{8} + \frac{\sqrt[]{5}}{2} + 1, \end{matrix}

így

β

-ra

\begin{matrix} β = \frac{3 \sqrt[]{5} - 1}{4} + \frac{\sqrt[]{u} + \sqrt[]{5 u} + \sqrt[]{v} - \sqrt[]{5 v}}{16} \end{matrix}

adódik. Ezekből a második és harmadik követelmény bal oldala

\begin{matrix} A α = \frac{{(\sqrt[]{u} + \sqrt[]{v})}^{2} - 4}{16} = \frac{7 + 3 \sqrt[]{5}}{2}, β + B - A α = - 4, \end{matrix}

végül

\begin{matrix} B α - A β = (3 \sqrt[]{5} - 1) / 4 - (\sqrt[]{u} + \sqrt[]{v}) (\sqrt[]{u} + \sqrt[]{v} + \sqrt[]{5 u} - \sqrt[]{5 v}) / 32 = \\ = (3 \sqrt[]{5} - 1) / 4 - {(\sqrt[]{u} + \sqrt[]{v})}^{2} / 32 - \sqrt[]{5} (u - v) / 32 = - 4. \end{matrix}

Ezzel igazoltuk az (5) alatti egyenlőségeket. (1) hátra levő két gyöke az

\begin{matrix} x^{2} + α x + β = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenlet két gyöke. Itt a fentiek szerint

α

is,

β

is úgy áll elő

- A

-ból, ill.

B

-ből, hogy ezekben

\sqrt[]{u}

és

\sqrt[]{v}

mindegyike helyére a negatívját írjuk, ennélfogva ugyanígy kaphatjuk meg

x_{3}

és

x_{4}

kifejezését

x_{1}

ből és

x_{2}

-ből.

Bottyán János (Hatvan, Bajza J. g. III. o.t.)

Bárány Imre (Budapest-Mátyásföld, Corvin Mátyás g. IV. o. t.)

Megjegyzés. Célhoz segít a következő sejtés is.

x_{1}

és

x_{2}

kifejezése emlékeztet a másodfokú egyenlet gyökképletére.

u

is,

v

is tartalmazza a külön is szereplő

\sqrt[]{5}

-öt, ezért

u

-t,

v

-t próbáljuk diszkriminánsnak venni, vagyis az

x_{1}

-et (

x_{2}

-t) adó másodfokú egyenlet másik gyökét

\sqrt[]{u}

(ill.

\sqrt[]{v}

) negatívjával képezni. Ha ez a sejtés helyes, akkor

\begin{matrix} x_{1} + x_{3} = (- 1 + \sqrt[]{5}) / 2, x_{1} x_{3} = [{(- 1 + \sqrt[]{5})}^{2} - u] / 16 = - (3 + \sqrt[]{5}) / 2, \\ x_{2} + x_{4} = (- 1 - \sqrt[]{5}) / 2, x_{2} x_{4} = - (3 - \sqrt[]{5}) / 2, \end{matrix}

a kérdéses másodfokú egyenletek bal oldalai:

\begin{matrix} x^{2} - (\sqrt[]{5} - 1) x / 2 - (3 + \sqrt[]{5}) / 2, x^{2} + (\sqrt[]{5} + 1) x / 2 - (3 - \sqrt[]{5}) / 2. \end{matrix}

Ezek szorzata (4) jobb oldalát adja, igazolja az adott

x_{1}

és

x_{2}

, valamint a megsejtett

x_{3}

és

x_{4}

szám gyök voltát.

Deák Jenő (Budapest, Kölcsey F. g. IV. o. t.)