Feladat:	1432. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antos P. ,  Argyelán J. ,  Babai L. ,  Bán P. ,  Bárány I. ,  Berkes Z. ,  Csóka G. ,  Deák J. ,  Domokos L. ,  Faragó T. ,  Fövényesi Ildikó ,  Gáspár A. ,  Gegesy F. ,  Havas J. ,  Herényi I. ,  Juhász Ágnes ,  Kádas S. ,  Kalmár I. ,  Kas Péter ,  Kiss A. ,  Kloknicer I. ,  Lakatos László ,  Lévai F. ,  Losonci Z. ,  Nádai L. ,  Nagy Béla ,  Nagy Elemér ,  Palla L. ,  Pintér J. ,  Recski A. ,  Seres Mária ,  Sidó S. ,  Szeidl L. ,  Szeredi P. ,  Tátray P.
Füzet:	1966/november, 125 - 126. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Tengely körüli forgatás, Szabályos tetraéder, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/december: 1432. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     1. ábra   I. A mozgatható $T$ tetraéder $4$ csúcsa közül bármelyiket választhatjuk fölsőnek, ezután az alapon levő $3$ csúcs bármelyikét beállíthatjuk bal oldalinak. Evvel a további $2$ csúcs helyzete is rögzített, így a kívánt beállítás $4\cdot 3=12$-féleképpen lehetséges. Válasszuk $T$ csúcsainak betűzését úgy, hogy $P$-t magunk felé fordítva a többi csúcs pozitív irányú körüljárással $Q$, $S$, $R$ egymásutánban kerüljön sorra. Így az alábbi $H_1$, $H_2$, $\text{...}$, $H_{12}$ helyzet lehetséges (egymás után az $F$, $B$, $J$, $K$ csúcs helyén álló csúcs, 1. ábra): ${\displaystyle \begin{array}{ccccccc}\hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">:</mo><mi>P</mi><mi>Q</mi><mi>R</mi><mi>S</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">:</mo><mi>Q</mi><mi>S</mi><mi>R</mi><mi>P</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>7</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">:</mo><mi>R</mi><mi>Q</mi><mi>S</mi><mi>P</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>10</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">:</mo><mi>S</mi><mi>R</mi><mi>Q</mi><mi>P</mi></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">:</mo><mi>P</mi><mi>R</mi><mi>S</mi><mi>Q</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">:</mo><mi>Q</mi><mi>R</mi><mi>P</mi><mi>S</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>8</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">:</mo><mi>R</mi><mi>S</mi><mi>P</mi><mi>Q</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>11</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">:</mo><mi>S</mi><mi>Q</mi><mi>P</mi><mi>R</mi></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">:</mo><mi>P</mi><mi>S</mi><mi>Q</mi><mi>R</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>6</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">:</mo><mi>Q</mi><mi>P</mi><mi>S</mi><mi>R</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">:</mo><mi>R</mi><mi>P</mi><mi>Q</mi><mi>S</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn>12</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">:</mo><mi>S</mi><mi>P</mi><mi>R</mi><mi>Q</mi></math> }}\hfill \end{array}}$     2. ábra   II. A megengedett forgatások $1$-szeri alkalmazásával beálló helyzetváltozásokat a 2. ábra $3$‐$3$ nyila mutatja. Ezek szerint legföljebb $2$ forgatás elég annak a csúcsnak a helyreviteléhez, amelyet fönt akarunk látni, ti. a $K$ helyzetből a ${\phi }_2$-vel, $J$-ből ${\phi }_2$ kétszeri alkalmazásával, $B$-ből pedig előbb a ${\phi }_1$, majd a ${\phi }_2$ forgatással. Ezek után a bal oldalra viendő csúcs már mindenesetre az alapon van, tehát, ha kell, ${\phi }_1$-nek legföljebb $2$-szeri alkalmazásával az előírt helyzetbe vihető, és ennek során a fönti csúcs nem mozdul el előírt helyzetéből. Így a forgatások száma valóban nem több $4$-nél. Pl. $T$ a $H_1$ helyzetből $H_4$-be a fentiek szerint a ${\phi }_1$, ${\phi }_2$, ${\phi }_1$, ${\phi }_1$ forgatásokkal vihető a $H_2$, $H_5$, $H_6$ egymás utáni közbülső helyzeteken át. Megjegyezzük azonban, hogy átvihető a következő forgatásnégyesekkel is: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\phi }_1{\phi }_1{\phi }_2{\phi }_2\left(H_2\mathrm{,}{H}_3\mathrm{,}{H}_8\right);{\phi }_2{\phi }_2{\phi }_1{\phi }_2\left(H_{11}\mathrm{,}{H}_7\mathrm{,}{H}_8\right);{\phi }_2{\phi }_1{\phi }_2{\phi }_1\left(H_{11}\mathrm{,}{H}_{12}\mathrm{,}{H}_6\right)\mathrm{.}}\end{array}$ III. A kérdésre a válasz tagadó. Ugyanis az I. alatti helyzetek bármelyikéből kiindulva és ${\phi }_1$-et és ${\phi }_2$-t (a korlátozás miatt) váltakozva alkalmazva $6$ forgatás után $T$ visszajut a kiindulási állásba. Valóban pl. $H_1$-ből ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle {\phi }_1\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">-gyel kezdve a</span>}}\hfill & {\displaystyle H_2\mathrm{,}{H}_5\mathrm{,}{H}_6\mathrm{,}{H}_9\mathrm{,}{H}_7\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">helyzeteken át,</span>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle {\phi }_2\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">-vel kezdve a</span>}}\hfill & {\displaystyle H_{11}\mathrm{,}{H}_{12}\mathrm{,}{H}_6\mathrm{,}{H}_4\mathrm{,}{H}_3\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">helyzeteken át</span>}}\hfill \end{array}}$ a $6$. forgatással visszajut $H_1$-be, tehát nem juthat át a $H_8$, $H_{10}$ helyzetekbe.   Kas Péter (Budapest, VI., Szinyei Merse utcai g. III. o. t.) Lakatos László (Budapest, VIII., Százados úti g. III. o. t.)