|
Feladat: |
1431. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Antos P. , Babai L. , Bárány I. , Domokos L. , Gegesy F. , Kádas S. , Kiss Á. , Lévai F. , Papp Z. , Pintz J. , Szeredi P. , Szilágyi P. , Tolnay-Knefély T. |
Füzet: |
1967/február,
59 - 60. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenletek grafikus megoldása, Hossz, kerület, Alakzatok mértéke, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1965/december: 1431. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Induljunk ki a versenyfeladatnak az idézett helyen közölt II. megoldásából, a híd két kapuzatának a megfigyelő álláspontján áthaladó , ill. nyílásszögű látókörívéből. A látószögek megengedett értékingadozása miatt minden egyes az (1)-nek eleget tevő értékhez szóba jön egy körív. Ez kissé eltér a felhasznált ívtől, mert a szöget pl. növelve, a körív középpontja közeledik a kapuzathoz, és a sugár csökken. Elég venni a legnagyobb és a legkisebb látószögértékhez tartozó ívet, ezek egy kifli alakú, körgyűrű‐szerű, két csúcsú idomot határolnak (1. ábra), a csúcsok a kapuzatot jelképező szakasz végpontjai, minden közbe eső szögértékhez tartozó látószög‐körív az idom belsejében halad és a két csúcsban végződik.
Az eredeti megoldás két körívének közös pontja, a megfigyelő álláspontja helyére a két kifli‐idom közös pontjai lépnek, mert minden közös ponton áthalad egy -ív és egy -ív. A közös pontok várhatóan ugyancsak egy idomot töltenek ki, melynek pontjai különböző magasságban lesznek az szint fölött, ezért kézenfekvő a versenyfeladat kérdését így módosítani: mekkora a megfigyelő legnagyobb és legkisebb lehetséges magassága a kapuzatok talppontján átmenő vízszintes sík fölött?
2. ábra Tájékozódás céljára készítsünk mérethű ábrát a II. megoldás háromszögéről a m, m, m, m részeredmények, valamint a m adat alapján (2. ábra), majd számítsuk ki a kifli‐idomokat határoló körívek középpontjának a kapuzathoz viszonyított helyzetét és sugarát, és rajzoljuk föl ezeket az íveket is.
| |
(Annak nincs jelentősége, hogy nem veheti föl e két értéket, mert ennek ellenére tetszés szerint közel állhat hozzájuk; egyébként a hosszúságok maximális adatait fölfelé, a minimálisokat lefelé kerekítettük.) A kiegészített ábra szerint a kifli‐idomok közös részének legmagasabb pontjára, -ra nézve, méter, és (a szimmetriát tekintetbe véve) m és m között minden magasságban van közös pont. Valóban, a köríveknek az egyenesen levő, a közelebbi kapuzattól legtávolabbi pontjának távolsága , , a fenti adatokból m és m, ill. m és m, tehát az -hoz tartozó kifli‐idom nem metszi a -hoz tartozó idom külső határvonalát. A pontra nézve a versenyfeladatbeli számításokat az , látószög‐párral megismételve mindkét megoldás eljárása szerint m adódik.
Megjegyzések. 1. Eredményünk azt mutatja, hogy a meghatározásában megengedett bizonytalanság az egész eljárást használhatatlanná tenné. (Ámde sokkal nagyobb hiba a szokásos teodolitokkal elérhető , sőt alatti pontosságnál!) Ábránkból azt is látjuk, hogy ha a adatra azt tennők fel, hogy -ra lefelé kerekítéssel adódott, akkor már csak a magasságértékek jöhetnének szóba az észlelő álláspontjára nézve, hiszen így a -val adódó kifli‐idom külső határvonala -ban metszené az -idom belső határvonalát. A pontatlanság a látószög csökkenésével rohamosan csökken; ugyanis az -idom szélessége környezetében még csak 2 méter körüli érték, a -idomé pedig már 10 m körüli, és az utóbbi módosítás esetén is 5 m körüli érték. A pontatlanság növekedésének oka az ívek lapos metsződése is. A közös rész legnagyobb mérete még az utóbbi esetben is közel 30 méter. 2. A dolgozatok nagy többsége a versenyfeladat I. megoldásában az észlelő álláspontjának , koordinátáira kapott képletekből próbálta kiolvasni és közvetve változását és változásának hatására. A vizsgálatok ‐ bár többnyire lényegében helyes korlátokat adnak ‐, a két változó miatt meglehetősen bonyolultak, és több, a középiskolai tananyagot meghaladó ismeretet használnak föl. És szinte minden dolgozat figyelmen kívül hagyta vagy egészen háttérbe szorította a feladat geometriai tartalmát. 3. Néhány dolgozat hibásnak minősítette (1)-et, mert esetén nincs megoldás. A adatot kerekítettnek véve egyáltalán nem azt állítjuk, hogy végigfut az (1) intervallumon, hiszen az észlelés helyén egyetlen határozott érték. Csak ennyit állítunk: a felhasznált eszközök és módszer miatt a adat pontatlan lehet, de hibája sem fölfelé, sem lefelé nem haladja meg a -ot. A versenyfeladat megoldását lásd K. M. L. 31 (1965. nov.) 104. o. Az új kérdés megoldásának megértéséhez szükséges az ottani megoldás elolvasása.A bemutatott ábrarész méretaránya . A teljes háromszög arányú kicsinyítésben egy cm méretű lapot igényel. A szokásos méretű körző már kicsi a nagyobb ív megrajzolásához; ez az ív rajzolható úgy, hogy egy 25 cm hosszú rajzlap‐csíkon távolságban két lyukat fúrunk egy az -be leszúrandó gombostű és ceruzánk hegye számára. |
|