Kezdőlap


Feladat:	1429. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csirmaz László
Füzet:	1966/november, 122 - 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/december: 1429. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(1)-nek szögletes zárójelbeli része

\begin{matrix} 1 + (\frac{sin x}{cos x} - \frac{cos x}{sin x}) \cdot 2 sin x cos x = 1 + 2 sin^{2} x - 2 cos^{2} x = \\ = 3 sin^{2} x - cos^{2} x = 3 - 4 cos^{2} x . \end{matrix}

Másrészt

\begin{matrix} cos 3 x & = cos (2 x + x) = cos 2 x cos x - sin 2 x sin x = \\ = (2 cos^{2} x - 1) cos x - 2 sin^{2} x cos x = \\ = cos x (2 cos^{2} x - 1 - 2 + 2 cos^{2} x) = cos x (4 cos^{2} x - 3) . \end{matrix}

Így nyilvánvaló, hogy

T_{1} = 0

, értelmezési tartományának minden helyén, vagyis ha

x \neq k π / 2

, ahol

k

egész szám.
(2)-ben felhasználjuk, hogy

sin x = tg x cos x

és

cos x = cotg x sin x

(ahol csak

tg x

és

cotg x

mindegyike értelmezve van). Kiemeléssel és további alakítással

\begin{matrix} T_{2} = \frac{{tg}^{2} x}{{cotg}^{2} x} \cdot \frac{1 - cos^{2} x}{1 - sin^{2} x} = \frac{{tg}^{2} x}{{(1 / tg x)}^{2}} \cdot \frac{sin^{2} x}{cos^{2} x} = {tg}^{6} x . \end{matrix}

Csirmaz László (Budapest, I. István g. I. o. t.)