Kezdőlap


Feladat:	1426. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dombi József
Füzet:	1966/április, 162 - 163. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Determinánsok, Determinánsok - lineáris egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/december: 1426. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A követelménynek sokféleképpen eleget tehetünk. Bármely $t$ szám írható másodrendű determináns alakban:

\begin{matrix} t = | \begin{matrix} t & 0 \\ u & 1 \end{matrix} |, ezért az | \begin{matrix} 1 / D & 0 \\ u & 1 \end{matrix} | \end{matrix}

determináns ‐ ahol

u

tetszés szerinti szám ‐ megfelel a követelménynek. ‐ Alább egy más úton adunk megfelelő determinánst.
Legyen az

x

y

z

u

elemekkel felírt determinánsra

\begin{matrix} X = | \begin{matrix} x & y \\ z & u \end{matrix} | = \frac{1}{D}, \end{matrix}

azaz a két determináns szorzatát sor‐sor kompozícióval végezve

\begin{matrix} D X = | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} x & y \\ z & u \end{matrix} | = | \begin{matrix} a x + b y & a z + b u \\ c x + d y & c z + d u \end{matrix} | = 1 = | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} | . \end{matrix}

(2)

Az utolsó két determináns nyilvánvalóan egyenlő, ha elemeik rendre megegyeznek, ennélfogva

x

y

z

u

megfelel, ha

\begin{matrix} a x + b y = 1, & (3) \\ c x + d y = 0. & (4) \\ a z + b u = 0, & (5) \\ c z + d u = 1. & (6) \end{matrix}

Vonjuk ki (3)

d

-szereséből (4)

b

-szeresét, majd (3)

c

-szereséból (4)

a

-szorosát:

\begin{matrix} (a d - b c) x = D x = d, (b c - a d) y = - D y = c, \\ így x = d / D, y = - c / D, \end{matrix}

és hasonlóan az (5), (6) egyenletrendszerből

\begin{matrix} z = - b / D, u = a / D . \end{matrix}

Így az idézett gyakorlat (8) és (6) egyenlőségeiben látott kiemelési, ill. felcserélési átalakításokkal valóban teljesül a feltétel

\begin{matrix} X = | \begin{matrix} d / D & - c / D \\ - b / D & a / D \end{matrix} | = \frac{1}{D} \cdot \frac{1}{D} \cdot | \begin{matrix} d & - c \\ - b & a \end{matrix} | = \\ = \frac{1}{D^{2}} \cdot | \begin{matrix} a & - b \\ - c & d \end{matrix} | = \frac{1}{D^{2}} \cdot | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = \frac{D}{D^{2}} = \frac{1}{D} . \end{matrix}

Az utolsó lépésben a mellékátlóban álló elemek helyére a negatívjukat írtuk, így szorzatuk értéke nem változott meg.
(2)-ből ugyanezen az úton tetszés szerinti számú megfelelő determinánst kaphatunk, az utolsó átalakítás helyére más megfelelőt írva, ugyanis pl.

\begin{matrix} 1 = | \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = | \begin{matrix} n & n + 1 \\ n - 1 & n \end{matrix} | . \end{matrix}

II. Írjunk

z

helyére egy határozott

z_{0}

(\neq 0)

értéket. Szorozzuk (1) egyenleteit előbb rendre

e

-vel és

- b

-vel, majd

- d

-vel és

a

-val. Így összeadva őket

\begin{matrix} (a e - b d) x - (b f - c e) z_{0} = 0, (a e - b d) y - (c d - a f) z_{0} = 0, \\ x = \frac{b f - c e}{a e - b d} \cdot z_{0}, y = \frac{c d - a f}{a e - b d} \cdot z_{0}, \end{matrix}

hacsak a közös nevező nem

0

, különben bármely

z_{0}

esetén vagy végtelen sok

x

y

z_{0}

számhármas elégíti ki (1)-et, vagy egy számhármas sem. A két számláló és a nevező felírható másodrendű determinánsként, így a keresett arány nem lehet más, mint

\begin{matrix} x : y : z = | \begin{matrix} b & c \\ e & f \end{matrix} | : | \begin{matrix} c & a \\ f & d \end{matrix} | : | \begin{matrix} a & b \\ d & e \end{matrix} | . \end{matrix}

(7)

A (7)-beli első két determináns körül legfeljebb egy lehet

0

. Ha ugyanis mind a kettő

0

, akkor a harmadik is, mert

b f - c e = c d - a f = 0

esetén

e / b = f / c = d / a = k

, és így

a e - b d = 0

. Ekkor (1) második egyenlete az elsőből megkapható

k

-val való szorzással.
A kérdés további diszkussziója itt nem feladatunk.

Dombi József (Szeged, Ságvári E. gyak. g. III. o. t.)