Kezdőlap


Feladat:	1423. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Argyelán J. , Babai L. , Balogh K. , Bárány I. , Berkes Z. , Bottyán J. , Csernátony Cs. , Cziffra A. , Deák J. , Domokos L. , Egri R. , Faragó T. , Gárdos Eszter , Havas J. , Herényi I. , Horváth Rozália , Kádas S. , Kalmár I. , Karsai I. , Kiss A. , Korchmáros G. , Langer T. , Lévai F. , Óhegyi E. , Papp Z. , Recski A. , Steiner Gy. , Szeidl L. , Szentgáli Á. , Szeredi P. , Tényi G. , Thomka I. , Tihanyi L. , Tolnay-Knefély T. , Varga Gabriella
Füzet:	1966/november, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglatest, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/november: 1423. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Jelöljük a test egy csúcsába összefutó éleit $a$ , $b$ , $c$ -vel, így felszíne $F = 2 (a b + a c + b c)$ , szabad felszíne pedig a mondott $3$ állásban:

\begin{matrix} F - a b = k r, F - b c = k p, F - c a = k q, \end{matrix}

(1)

ahol

k

valamely alkalmas, a

0

-tól különböző szám. A bal oldalak mindegyike nagyobb

F / 2

-nél, így

p

q

r

mindenesetre

0

-tól különbözők és egyenlő előjelűek. Elég azzal az esettel foglalkoznunk, ha

p

q

r

mindegyike pozitív, így

k > 0

is fennáll.

Az (1) egyenleteket összeadva, majd az

F

-re adódó kifejezést mindegyikbe visszahelyettesítve

\begin{matrix} 3 F - F / 2 = 5 F / 2 = k (p + q + r), F = 0, 4 \cdot k (p + q + r), \\ b c = F - k p = 0, 2 k (- 3 p + 2 q + 2 r), \\ c a = 0, 2 k (2 p - 3 q + 2 r), a b = 0, 2 k (2 p + 2 q - 3 r) . \end{matrix}

Így az élek aránya, élve az egyszerűsítési lehetőségekkel

\begin{matrix} a : b : c = \frac{a b c}{b c} : \frac{a b c}{c a} : \frac{a b c}{a b} = \frac{1}{b c} : \frac{1}{c a} : \frac{1}{a b} = \\ = \frac{1}{- 3 p + 2 q + 2 r} : \frac{1}{2 p - 3 q + 2 r} : \frac{1}{2 p + 2 q - 3 r} . \end{matrix}

II. Itt

a

b

c > 0

miatt a három nevezőnek egyenlő előjelűnek kell lennie. És mivel összegük

p + q + r > 0

, mindegyik pozitív:

\begin{matrix} 2 p + 2 r > 3 q, & (2) \\ 2 p + 2 q > 3 r, & (3) \\ 2 q + 2 r > 3 p . & (4) \end{matrix}

Varga Gabriella (Szombathely, Savaria g. III. o. t.)

Megjegyzés. Szemléletes képet kapunk a (2)‐(4) feltételekről az alábbiak szerint. Nem megy az általánosság rovására, ha az egyik arányszám értékét megválasztjuk; legyen

r = 2

. Az így módosuló föltételeknek azok a

p

q

számpárok tesznek eleget, amelyeket a

P

Q

derékszögű koordináta-rendszer pontjai koordinátáinak tekintve, a megfelelő pontok a

q = (2 p + 4) / 3

egyenes alatt és a

q = 3 - p

, valamint a

q = (3 p - 4) / 2

egyenes fölött vannak (1. ábra), vagyis a (

4

4

), (

1

2

) és (

2

1

) csúcsokkal meghatározott háromszög belső pontjainak koordináta-párjai. ‐ Könnyű azt is leolvasni az ábráról, hogy a

p

q

r

arányszámok egyike sem érheti el a nála kisebb (kisebbek)

2

-szeresét.