Kezdőlap


Feladat:	1419. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Argyelán J. , Babai László , Balogh K. , Bárány I. , Deák J. , Domokos L. , Fialovszky B. , Gács P. , Gegesy F. , Herényi István , Horváth Rozália , Joó I. , Kafka Péter , Kiss Árpád , Králik I. , Lévai F. , Major P. , Sugár L. , Szeidl László , Szeredi P. , Verdes S. , Zákány L.
Füzet:	1966/október, 60 - 61. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/november: 1419. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy u( $x$ ) polinomnak egy v( $x$ ) polinommal való (maradékos) osztásán egy olyan q( $x$ ) hányados-polinom és egy olyan, az osztónál alacsonyabb fokú r( $x$ ) maradék-polinom meghatározását értjük, amelyre teljesül

\begin{matrix} u (x) = q (x) \cdot v (x) + r (x) . \end{matrix}

Ha r(

x

) azonosan 0, akkor azt mondjuk, hogy u(

x

) osztható v(

x

)-szel, más szóval hogy u(

x

) többszöröse a v(

x

)-nek. ‐ Itt csak r(

x

)-et kell meghatároznunk, ezért az ismert osztási eljárás helyett rüvidebb utat keresünk.

I. Az (1)-beli osztó könnyen szorzattá alakítható:

\begin{matrix} d (x) = (x^{4} + x^{3} + x^{2}) + (x^{2} + x + 1) = (x^{2} + x + 1) (x^{2} + 1) . \end{matrix}

Az osztás megkönnyítése céljára keressünk olyan egyszerű (azaz kevés tagból álló) polinomokat, amelyek d(

x

) egyes tényezőinek többszörösei, majd olyanokat, amelyek magának d(

x

)-nek többszörösei. Ismert azonosságok szerint

\begin{matrix} x^{3} - 1 & = (x^{2} + x + 1) (x - 1), ezért \\ x^{6} - 1 & = (x^{3} - 1) (x^{3} + 1) = (x^{2} + x + 1) (x - 1) (x^{3} + 1); \\ x^{6} + 1 & = (x^{2} + 1) (x^{4} - x^{2} + 1), tehát \\ (x^{6} - 1) (x^{6} + 1) & = x^{12} - 1 = d (x) \cdot (x^{4} - x^{2} + 1) (x^{3} + 1) (x - 1) . \end{matrix}

Továbbmenve, ha

j

pozitív egész szám,

x^{12 j} - 1

maradék nélkül osztható

x^{12} - 1

-gyel, és így d(

x

)-szel is; más szóval az

x^{12 j} : d (x)

osztás maradéka 1.
Mármost

1001 = 83 \cdot 12 + 5

, ezért

\begin{matrix} \frac{x^{1001} - 1}{d (x)} = \frac{x^{83 \cdot 12} \cdot x^{5} - x^{5} + x^{5} - 1}{d (x)} = x^{5} \cdot \frac{x^{83 \cdot 12} - 1}{d (x)} + \frac{x^{5} - 1}{d (x)} . \end{matrix}

(3)

Az utolsó alak első tagja kifejtve polinomot ad, mert 2. tényezőjében a számláló a fentiek szerint osztható a nevezővel (és mert

x^{5}

is polinom, és két polinom szorzata polinom), ezért a keresett maradék azonos az

(x^{5} - 1) : d (x)

osztás maradékával. Egy észrevétel alapján ezt az osztást is elkerülhetjük:

\begin{matrix} x^{5} - 1 = (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = (x - 1) (d (x) - x^{2}) = \\ = d (x) \cdot (x - 1) + x^{2} (1 - x), \end{matrix}

itt

x^{2} (1 - x)

alacsonyabb fokú, mint d(

x

), tehát ez a keresett maradék.

II. A (2) osztó d(

x^{2}

), vagyis ugyanazon eljárással számítható ki

x^{2}

-ből, amellyel (1) osztója

x

-ből. Így a fentiek alapján minden pozitív egész

j

esetén

{(x^{2})}^{12 j} - 1 = x^{24 j} - 1

osztható (2)-vel, és mivel

1001 = 41 \cdot 24 + 17

, ezért a (3)-hoz hasonlóan a második osztás maradéka azonos az

(x^{17} - 1) : d (x^{2})

osztás maradékával. Ez a szokásos osztási sémával

- 2 x^{7} - x^{5} - 2 x^{3} - 1

Szeidl László (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. IV. o. t.)