Feladat: 1418. matematika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csernátony Csaba 
Füzet: 1966/szeptember, 11 - 12. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat, Tizes alapú számrendszer
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/november: 1418. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az eredeti természetes számot n-nel jelölve

4n=ABCDEF,(1)
13n=FABCDE,(2)
22n=CDEFAB.(3)


(3) és (1) alapján
106>22n>5⋅4n>5⋅A⋅105,azazA<2,
ezért A=1 vagy 0.
I. Ha A=1, akkor n>105/4, és n<106/22, ezeket 13-mal szorozva (2)-ből
13⋅105/4=325000<F1BCDE<13⋅106/22=65⋅105/11<600000,
tehát 3<F<6, és mivel (1) miatt F páros, azért F=4.
Tovább (2)-ből 410000<13n<420000, ezt 4/13-dal szorozva 126153<4n<129231, ezért 4n második jegye B=2.
Ezzel ismét (2)-ből 412000<13n<413000, ezt 22/13-dal szorozva 697230<22n<698924, ezért 22n első három jegye C=6, D=9 és E=7 vagy 8. Végül (1) miatt, utolsó két jegyéből EF=E4 osztható 4-gyel, ezért E páros, tehát E=8.
Mármost (1)‐(3) bármelyikéből nI=31746, a kérdéses számokat ezzel osztva

BCDEFA:nI=269841:31746=8,5=7/2,

DEFABC:nI=984126:31746=31,

EFABCD:nI=841269:31746=26,5=53/2,

vagyis BCDEFA és EFABCD nem többszöröse az eredeti számnak.
 

II. Legyen másodszor A=0. (Nem vethetjük el ugyanis annak lehetőségét, hogy a számjegyek (1)‐(3)-beli ciklikus ismétlődésének érdekességére tekintettel 4n-et elöl 0-val kiegészítve írták 6-jegyűnek.) Az előzőkhöz hasonlóan (1)-ből 104<4n<105, hiszen B≠A miatt B≧1, ezt 13/4-del szorozva 1≦F≦3, de F páros, így F=2. Most 13n első két jegye alapján 20⋅104<13n<21⋅104, ezt 4/13-dal, majd 22/13-dal szorozva B=6, ill. C=3, végül ismét (2)-ből az első négy jegy ismeretében 22/13-dal szorozva D=4, E=9. ‐ Mindezekből nII=15873, és ezzel mindhárom kérdéses szám osztható, a hányadosok rendre 40, 31, ill. 58.
Mindezek szerint DEFABC az eredeti számnak mindig többszöröse.
Vegyük észre, hogy nI=2⋅nII, ezért nII-nek az I. esetbeli BCDEFA=269841 szám 2⋅8,5=17-szerese, az EFABCD=841269 pedig 53-szorosa.
 

II. megoldás. (2)-t 10-zel szorozva 130n hét jegyű, 0-ra végződik és középső öt jegye rendre egyezik 4n első öt jegyével. Kivonással ezek a jegyek kiesnek:
130n-4n=126n=106F-F=999999F,(4)
és 63-mal osztva 2n=15873F. Ebből egyrészt F páros, másrészt 22n=174603F<106, ezért F<6, tehát F=2 vagy 4 (nem lehet F=0, mert 13n>4n, és így F>A). F értéke meghatározza n-et és vele a többi számjegyeket. F=2-ből a fenti II. esetre, F=4-ből pedig az I. esetre jutunk.
 
Csernátony Csaba (Budapest, I. László g. IV. o. t.)
dolgozatából, kiegészítéssel