Kezdőlap


Feladat:	1415. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Babai László , Domokos László , Kloknicer Imre
Füzet:	1966/november, 112 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat, Tizes alapú számrendszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/október: 1415. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek egy tetszés szerinti háromjegyű természetes szám egymás utáni számjegyei $A$ , $B$ , $C$ , ahol $1 \leq A \leq 9$ , és $0 \leq B$ , $C \leq 9$ . A számnak és számjegyei összegének $q$ hányadosa így alakítható:

\begin{matrix} q = \frac{100 A + 10 B + C}{A + B + C} = 1 + 9 \cdot \frac{11 A + B}{A + B + C} \geq 1 + 9 \cdot \frac{11 A + B}{A + B + 9} . \end{matrix}

A második alakbeli tört helyére kisebb vagy vele egyenlő értékű kifejezést írtunk azáltal, hogy

C

helyére legnagyobb lehetséges értékét téve a nevezőt növeltük, vagy változatlanul hagytuk. Ezt megismételjük

B

-vel:

\begin{matrix} q & \geq 1 + 9 \cdot \frac{A + B + 9 + 10 A - 9}{A + B + 9} = 10 + 9 \cdot \frac{10 A - 9}{A + B + 9} \geq \\ \geq 10 + 9 \cdot \frac{10 A - 9}{A + 18}, \end{matrix}

ugyanis a számláló pozitív. Továbbmenve

\begin{matrix} q & \geq 10 + 9 \cdot \frac{10 (A + 18) - 189}{A + 18} = 100 - \frac{9 \cdot 189}{A + 18} \geq \\ \geq 100 - \frac{9 \cdot 189}{19} = \frac{199}{19} . \end{matrix}

Itt a kivonandót növeltük vagy változatlanul hagytuk azáltal, hogy nevezőjét csökkentettük vagy változatlanul hagytuk.

A

helyére legkisebb szóba jövő értékét,

1

-et írva.
Ezek szerint a vizsgálandó hányados sohasem kisebb, mint

\begin{matrix} \frac{199}{19} = \frac{199}{1 + 9 + 9}, \end{matrix}

és ezt eléri, ha a

199

számból indulunk ki.

Domokos László (Tatabánya, Árpád g. IV. o. t.)

Megjegyzés. Az alábbi átalakítások mutatják, hogy a legkisebb

q

-t adó szám jegyeit tetszés szerinti sorrendben megállapíthatjuk:

\begin{matrix} q = 100 - \frac{90 B + 99 C}{A + B + C} = 10 + \frac{90 A - 9 C}{A + B + C} = 1 + \frac{99 A + 9 B}{A + B + C} . \end{matrix}

Kloknicer Imre (Budapest, Bláthy O. t. III. o. t.)

II. megoldás. Egy

x = 100 A + 10 B - C (> 100)

háromjegyű számot számjegyeinek

y (> 1)

összegével osztva a hányados csökken, ha a számban akár a tízes, akár az egyes jegyet

1

-gyel növeljük, akár a százas jegyet

1

-gyel csökkentjük (a másik két jegyet mindegyik esetben változatlanul hagyjuk):

\begin{matrix} \frac{x}{y} - \frac{x + 10}{y + 1} = \frac{x - 10 y}{y (y + 1)} = \frac{9 (10 A - C)}{y (y + 1)} > 0, \\ \frac{x}{y} - \frac{x + 1}{y + 1} = \frac{x - y}{y (y + 1)} = \frac{99 A + 9 B}{y (y + 1)} > 0, \\ \frac{x}{y} - \frac{x - 100}{y - 1} = \frac{100 y - x}{y (y - 1)} = \frac{90 B + 99 C}{y (y - 1)} \geq 0, & (1) \end{matrix}

ugyanis

10 A \geq 10 > C

. A tízes és az egyes jegy csak a

B = 9

, ill.

C = 9

érték eléréséig növelhető, a százas jegy pedig csak

A = 1

-ig csökkenthető, és

B

C > 0

esetén (1)-ben nem áll egyenlőség. A változtatásokat egymás után végrehajtva a

199

számhoz jutunk, az erre adódó

199 / 19

hányados már nem csökkenthető, másrészt a vizsgálatból kihagyott

x = 100

y = 1

esetében is nagyobb hányadost kapunk, tehát

199 / 19

a kérdéses hányados legkisebb értéke.
Babai László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)