Feladat: 1412. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Lőrincz János 
Füzet: 1966/március, 113 - 115. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/október: 1412. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Egyik xi sem lehet 0, mert könnyen látható, hogy akkor a többi csak 2 lehetne, de akkor 0+2⋅2⋅2≠2. Jelöljük az x1x2x3x4 szorzatot y-nal, ekkor az

xi+yxi=2(i=1,2,3,4)(1)
egyenletrendszert kell megoldanunk. Innen
xi2-2xi+y=0,xi=1±1-y, másképpen |xi-1|=1-y,
eszerint az ismeretleneket 1-gyel csökkentve legföljebb két különböző számot kaphatunk. Ez háromféleképpen adódhat:
 

α) mind a négy xi-1 különbség értéke egyenlő,
β) hármuk egyenlő, a negyedik -1-szer akkora,
γ) kettőjük egyenlő, a másik kettőjük -1-szer akkora.
 
Az α esetben x1=x2=x3=x4, ezért (1)-ből
x1+x13=2,x13+x1-2=(x1-1)(x12+x1+2)=0,
és mivel a második tényező minden valós x1 értékre pozitív:
x12+x1+2=(x1+12)2+94≧94>0,
azért csak x1=1 lehetséges. Az 1, 1, 1, 1 számnégyes valóban kielégíti a követelményeket.
 
A β esetben pl. x1-1=x2-1=x3-1, és így x1=x2=x3, továbbá x4-1=1-x1. Így x4=2-x1, ezért (1)-ből i=4 esetén
2-x1+x13=2,x1(x12-1)=0,
és mivel x1≠0, x1 értéke 1 vagy -1. Az első az előbbi megoldásra vezet, az utóbbi pedig a -1, -1, -1, 3 számnégyesre, ami szintén valóban megoldás.
 
A γ esetben pl. x1-1=x2-1=1-x3=1-x4=x4, azaz x1=x2, és x3=x4=2-x1, így pedig (1)-ből i=3 esetén
2-x1+x12(2-x1)=2,x1(x1-1)2=0,
csak az 1, 1, 1, 1 megoldást kapjuk.
Mindezek szerint a követelménynek két valós számnégyes felel meg: 1, 1, 1, 1 és -1, -1, -1, 3.
 
Lőrincz János (Sárospatak, Rákóczi F. g. IV. o. t.)

 
II. megoldás. Olyan megoldás, amelyben x1=x2=x3=x4, egy van, mint az előző megoldásban láttuk: x1=x2=x3=x4=1. Ha a számok között van különböző, akkor van olyan, amelyik legalább két másiktól különbözik. Válasszuk a sorszámozást úgy, hogy x1≠x2, x1≠x3 teljesüljön. Írjuk fel a követelményt x1-ből és x2-ből kiindulva, majd képezzük a két egyenlőség különbségét:
x1+x2x3x4=2,x2+x1x3x4=2,(2)x1-x2+x3x4(x2-x1)=(x1-x2)(1-x3x4)=0.(3)


Hasonlóan
(x1-x3)(1-x2x4)=0.(4)
Ekkor (3)-ból és (4)-ből x3x4=1, és x2x4=1, ezért (2)-ből x1+x2=2, és x1+x3=2, tehát x2=x3.
Az x4-ből kiindulva adódó x4+x1x2x3=2 egyenletből x1-et, x3-at, x4-et könnyen kiküszöbölhetjük, ha x2-vel szorzunk:
x2x4+x1x22x3=1+(2-x2)x23=2x2,x24-2x23+2x2-1=0,x24-1-2x2(x22-1)=(x22-1)(x22+1-2x2)=(x2-1)3(x2+1)=0.


Innen vagy x2=x3=1, x1=2-x2=1, x4=1/x2=1, ami nem tartalmaz különböző értékeket, vagy x2=x3=-1, x4=1/x2=-1, x1=2-x2=3, és ez valóban kielégíti a követelményeket.