Kezdőlap


Feladat:	1411. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Babai L. , Bárány I. , Deák J. , Domokos L. , Gáspár András , Gömböcz L. , Havas J. , Hoffmann Gy. , Joó I. , Kádas S. , Kafka P. , Kiss A. , Lévai F. , Pethő I. , Rácz M. , Sarkadi Nagy I. , Szeidl L. , Szentgáli Á. , Tényi G. , Tolnay-Knefély T. , Tóth A. , Verdes S.
Füzet:	1966/szeptember, 8 - 9. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/október: 1411. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a kettévágott tetraédernek az $A B$ -t, ill. $C D$ -t tartalmazó részét $T_{A B}$ -vel, ill. $T_{C D}$ -vel, térfogatukat $V_{A B}$ -vel, ill. $V_{C D}$ -vel. Messe $ε$ az $A B C$ lapot az $E F$ , és az $A B D$ lapot a $H G$ szakaszban, így $E F G H$ paralelogramma, mert $E F ∥ A B ∥ H G$ , és $E H ∥ C D ∥ F G$ . Így $E F$ -en át $A B D$ -vel párhuzamos síkot fektethetünk, messe ez $C D$ -t $J$ -ben. Az $E F J$ háromszög $T_{C D}$ -t a $D G H J F E = P$ hasábra és az $E F J C = T'$ tetraéderre osztja, legyen, a térfogatuk $V_{P}$ , ill. $V_{J}$ , az egész tetraéderé $V$ .

A keresett arány

\begin{matrix} q = \frac{V_{C D}}{V - V_{C D}} = \frac{V_{P} + V_{J}}{V - V_{P} - V_{J}} . \end{matrix}

A feltevés szerint az

A E : C E

arány értéke

k

, és így

C E = C A / (k + 1)

, ugyanis

A

-nak és

C

-nek

ε

-on levő vetületét

A'

-vel, ill.

C'

-vel jelölve az

A A' E

és

C C' E

derékszögű háromszögek hasonlók, és

A E : C E = A A' : C C' = k

. Így

E F = A B / (k + 1)

, és az

E F J

A B D

hasonló háromszögek területeinek aránya

1 / {(k + 1)}^{2}

. A

T'

és az

A B C D

tetraéder

C

-ből húzott magasságainak aránya

C K' : C K = C E : C A = 1 / (k + 1)

, ezért

V_{J} = V / {(k + 1)}^{3}

. Másrészt

P

és

T'

magasságainak aránya

K' K : C K' = E A : C E = k

, így

V_{P} : V_{J} = 3 k

V_{P} = 3 k V / {(k + 1)}^{3}

, és

\begin{matrix} q = \frac{V (3 k + 1) / {(k + 1)}^{3}}{V [1 - (3 k + 1) / {(k + 1)}^{3}]} = \frac{3 k + 1}{k^{3} + 3 k^{2}} . \end{matrix}

Az arány megállapításához nem volt szükség az

a

b

d

ω

adatokra, amint az előre látható is volt.

Gáspár András (Budapest, Vasútgépészeti t. III. o. t.)