Kezdőlap


Feladat:	1410. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Babai L. , Bajna Zs. , Balogh K. , Bán P. , Deák J. , Domokos L. , Fái Gy. , Fövényesi Ildikó , Herényi I. , Juhász Ágnes , Kádas S. , Kalmár I. , Kleinheincz F. , Kloknicer I. , Langer T. , Lévai Ferenc , Lipták J. , Mlakár Katalin , Papp Z. , Piros M. , Rácz M. , Solymosi A. , Szeidl L. , Szentgáli Á. , Szeredi P. , Tényi G.
Füzet:	1966/május, 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/október: 1410. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az egyenletrendszer egy megoldása $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , és legyen pl. $| x_{1} | \geq | x_{2} |$ , $| x_{1} | \geq | x_{3} |$ . Ekkor az első egyenletből

\begin{matrix} | a_{11} x_{1} | = | - a_{12} x_{2} - a_{13} x_{3} | \leq | a_{12} | \cdot | x_{2} | + | a_{13} | \cdot | x_{3} | \leq \\ \leq (| a_{12} | + | a_{13} |) \cdot | x_{1} | . \end{matrix}

Az a) feltétel szerint a bal oldalon

a_{11} \cdot | x_{1} |

áll, így átrendezve

\begin{matrix} (a_{11} - | a_{12} | - | a_{13} |) \cdot | x_{1} | \leq 0. \end{matrix}

Az első tényező a b) feltétel szerint

a_{11} + a_{12} + a_{13}

-mal egyenlő, és ez c) szerint pozitív, tehát

| x_{1} |

nem lehet pozitív. Így

x_{1} = 0

, amiből

x_{2} = x_{3} = 0

is következik.

Lévai Ferenc (Tatabánya, Árpád g. IV. o. t.)

Megjegyzés. A feltételekből mindössze annyit használtunk ki, hogy az

i

-edik egyenletben az

a_{i i}

együttható abszolút értéke nagyobb, mint a többi együtthatók abszolút értékének az összege. A bizonyítás mutatja, hogy ha ez teljesül, és annyi egyenletünk van, ahány ismeretlen, akkor nincs a rendszernek a triviálistól különböző megoldása.