Kezdőlap


Feladat:	1409. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Babai László
Füzet:	1966/május, 210 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/október: 1409. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az első egyenlőtlenség jobb oldalán álló szám nem negatív, így ez teljesül, ha $cos x \leq 0$ , azaz ha $π / 2 \leq x \leq 3 π / 2$ .
A további $x$ -ekre egyik kifejezés sem negatív, így akkor és csak akkor teljesülnek az egyenlőtlenségek, ha a megfelelő értékek négyzetei közt teljesülnek a megfelelő egyenlőtlenségek. Osztva mindjárt $2$ -vel:

\begin{matrix} 2 cos^{2} x \leq 1 - \sqrt[]{1 - sin^{2} 2 x} = 1 - | cos 2 x | \leq 1. \end{matrix}

Mindegyik kifejezésből

1

-et levonva az első

cos 2 x

lesz. Az így nyert

\begin{matrix} cos 2 x \leq - | cos 2 x | \leq 0 \end{matrix}

egyenlőtlenségekből a második mindig teljesül, az első akkor, ha

cos 2 x \leq 0

, vagyis a szóban forgó

x

-ek közül a

\begin{matrix} π / 4 \leq x \leq π / 2 és 3 π / 2 \leq x \leq 7 π / 4 \end{matrix}

számközök számaira. Itt az egyenlőség jele érvényes.

II. A második egyenlőtlenség minden

x

-re teljesül; egyenlőség áll fenn, ha

cos 2 x = 0

, azaz ha

x = π / 4

3 π / 4

5 π / 4

7 π / 4

Babai László (Budapest, Fazekas M. gyak. gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. A négyzetes összefüggések és a kétszeres szögekre vonatkozó összefüggések alkalmazásával

\begin{matrix} \sqrt[]{1 + sin 2 x} - \sqrt[]{1 - sin 2 x} = \\ = \sqrt[]{sin^{2} x + cos^{2} x + 2 sin x cos x} - \sqrt[]{sin^{2} x + cos^{2} x - 2 sin x cos x} = \\ = | sin x + cos x | - | sin x - cos x | . \end{matrix}

Megvizsgálva, hogy a két abszolút értéken belüli kifejezés mikor pozitív, mikor negatív, ebből is eljutunk a megoldáshoz, de az előbbinél kissé hosszadalmasabb úton.