Kezdőlap


Feladat:	1403. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Hörcher Gábor , Szalay Sándor
Füzet:	1966/április, 160. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Szorzat, hatványozás azonosságai, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/szeptember: 1403. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az 1330. feladatban^{$^{*}$} éppen az (1) és a (3) bal oldalán álló polinomhoz kerestünk olyan másik, $3$ -ad, ill. $4$ -edfokú polinomot, amellyel ezt szorozva a szorzat-polinom $x$ -nek csak páros kitevőjű hatványait tartalmazza. Ezeket találtuk:

\begin{matrix} (x^{3} - x^{2} - 6 x + 2) (x^{3} + x^{2} - 6 x - 2) = x^{6} - 13 x^{4} + 40 x^{2} - 4 = & (5) \\ = {(x^{2})}^{3} - 13 {(x^{2})}^{2} + 40 (x^{2}) - 4, \end{matrix}

ill. hasonló átalakítással

\begin{matrix} (x^{4} + c x^{3} + d x^{2} + e x + f) (x^{4} - c x^{3} + d x^{2} - e x + f) = {(x^{2})}^{4} + (2 d - & (6) \\ - c^{2}) \cdot {(x^{2})}^{3} + (d^{2} - 2 c e + 2 f) \cdot {(x^{2})}^{2} + (2 d f - e^{2}) \cdot {(x)}^{2} + f^{2} \end{matrix}

(az utóbbi bármely

c

d

e

f

értékrendszer esetén).
Az (5) jobb oldalán álló polinom előáll (2) bal oldalából, ha

x

helyére

x^{2}

-et írunk. Eszerint ha

x

kielégíti (1)-et, akkor (5) bal oldala

0

, így a jobb oldala is, ez pedig éppen azt jelenti, hogy

x^{2}

kielégíti a (2) egyenletet. Ugyanígy látható be (6) felhasználásával az állításnak a (3) és (4) egyenletek gyökei közti kapcsolatra vonatkozó része.

Szalay Sándor (Debrecen, Kossuth L. gyak. g. III. o. t.)

II. megoldás. Legyen

x_{1}

gyöke (1)-nek. Ebből átrendezéssel, négyzetre emeléssel, végül ismét

0

-ra redukálással

\begin{matrix} x_{1}^{3} - 6 x_{1} = x_{1}^{2} - 2, x_{1}^{6} - 12 x_{1}^{4} + 36 x_{1}^{2} = x_{1}^{4} - 4 x_{1}^{2} + 4, \\ x_{1}^{6} - 13 x_{1}^{4} + 40_{1}^{2} - 4 = {(x_{1}^{2})}^{3} - 13 {(x_{1}^{2})}^{2} + 40 (x_{1}^{2}) - 4 = 0, \end{matrix}

és az utolsó alak az első állítást igazolja. ‐ Ugyanígy (3)-ból

\begin{matrix} x_{1}^{4} + d x_{1}^{2} + f = - (c x_{1}^{3}) + e x_{1}), \\ x_{1}^{8} + 2 d x_{1}^{6} + (d^{2} + 2 f) x_{1}^{4} + 2 d f x_{1}^{2} + f^{2} = c^{2} x_{1}^{6} + 2 c e x_{1}^{4} + e^{2} x_{1}^{2} . \end{matrix}

Ezt

0

-ra redukálva, valamint

x_{1}^{2}

helyére új betűt írva (4)-et kapjuk, tehát

x_{1}^{2}

kielégíti (4)-et.

Hörcher Gábor (Budapest, Ybl M. ép. ip. t. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. (1)-nek és (2)-nek egyaránt

3

gyöke van, (3)-nak és (4)-nek pedig egyaránt

4

. Eszerint sem (2)-nek, sem (4)-nek nincs más gyöke, mint az (1), ill. (3) gyökei négyzetre emelésével adódó számok.
2. A II. megoldásban a két oldalon szereplő polinomok négyzetének különbsége tényezőkre bontva éppen az I. megoldásban szereplő szorzatokat adja.
3. Olvassuk el az 1004. gyakorlathoz fűzött megjegyzést^{$^{*}$}.

^{$^{*}$}K. M. L. 31 (1965) 17. o.

^{$^{*}$}Lásd ezen számban, 172. o.