Kezdőlap


Feladat:	1402. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Losonci Zoltán
Füzet:	1966/március, 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/szeptember: 1402. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Az $A$ sorozat differenciája $d = a_{2} - a_{1} = a_{3} - 1$ , a $G$ sorozat kvóciense $q = g_{2} / g_{1} = g_{2} = a_{2}$ , így az $a_{m} = g_{3}$ feltételből

\begin{matrix} 1 + (m - 1) (a_{2} - 1) = a_{2}^{2} . \end{matrix}

1-et levonva és a 0-tól különböző

a_{2} - 1

tényezővel osztva

\begin{matrix} m - 1 = a_{2} + 1, a_{2} = q = m - 2, d = m - 3. \end{matrix}

II.

g_{4}

így írható:

\begin{matrix} g_{4} = g_{1} q^{3} = {(m - 2)}^{3} = {[1 + (m - 3)]}^{3} = \\ = 1 + (m - 3) [3 + 3 (m - 3) + {(m - 3)}^{2}] = 1 + d (m^{2} - 3 m + 3) . \end{matrix}

A zárójelben egész szám áll, tehát

g_{4}

egyenlő az

A

sorozat

m^{2} - 3 m + 4

sorszámú tagjával.

III.

G

tetszés szerinti tagja így alakítható:

\begin{matrix} g_{j + 1} = q^{j} = {(m - 2)}^{j} = 1 + [{(m - 2)}^{j} - 1^{j}] = \\ = 1 + (m - 3) [{(m - 2)}^{j - 1} + {(m - 2)}^{j - 2} + ... + 1] . \end{matrix}

Ezzel bebizonyítottuk az állítást, hogy

g_{j + 1}

előfordul

A

-ban, ottani sorszáma az utolsó zárójelben levő összegnél 1-gyel nagyobb.

Losonci Zoltán (Szeged, Vedres I. ép. ip. t. III. o. t.)