|
Feladat: |
1399. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Arányi P. , Babai László , Balla Katalin , Bárány I. , Baranyai Zs. , Blaskó G. , Dabóczi Á. , Darvas György , Deák J. , Dévaj Ágnes , Domokos L. , Domokos Zsuzsanna , Eff L. , Elekes Gy. , Fodor Magdolna , Forgács P. , Gáspár A. , Havas J. , Herényi I. , Höss Rozália , Karsai Kornélia , Korchmáros G. , Lamm P. , Lévai P. , Malina J. , Márki László , Molnár Ágnes , Nagy Klára , Pintér J. , Sátori Gabriella , Steiner Gy. , Surányi László , Szász A. , Székely G. , Szemkeő Judit , Vesztergombi Katalin |
Füzet: |
1966/október,
54 - 55. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Szögfelező egyenes, Paralelogrammák, Feladat, Síkgeometriai bizonyítások |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1965/május: 1399. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A és egyenesek közös pontját -vel jelölve és , valamint és hasonló helyzetű háromszögek a , ill. középpontra nézve, továbbá a háromszög szögfelezőszakasza, ezért | | A harmadik egyenlőség szerint az első két egyenlőség jobb oldalán álló arányok egyenlők, ezért a bal odalukon álló arányok is egyenlők. Az utóbbiak nevezője azonos, ezért számlálóik egyenlők, . Ezt kellett bizonyítanunk.
Nem jönnek létre valódi háromszögek, ha a -ben adódik, továbbá ha -t -ben választjuk (ekkor is -ben adódik). Az első esetben a szögfelezőnek a átlón levő pontja, ekkor a -be, a -be esik, a kérdéses szakaszok mindegyike 0, az állítás igaz, de semmitmondó. A második esetben sem , sem nem jön létre, az állítás tárgytalanná válik. Amennyiben rombusz, és tükrös pontpár, és tükrös egyenespár -re mint tengelyre nézve, így és egymás tükörképei.
Darvas György (Budapest, Radnóti M. Gyak. Gimn.)
Megjegyzés. Bizonyításunk a paralelogramma -beli külső szögének felezőpontján felvett (-től különböző) pontra is érvényes, mert az osztásarányra vonatkozó tétel a külső szögfelezőre is érvényes.
II. megoldás. Fordítsuk el a négyszöget körül addig, míg ismét a egyenesre jut, és legyen ekkor új helyzete . a egyenesen adódik, hiszen a és egyenesek egyenlő távolságra vannak -től. Másrészt a háromszög köré írt kör pontja, mert hiszen rajta van a trapéz szárán. Így pedig is rajta van -n, mint a húrnégyszög körülírt körén, ugyanis Az állítás most már abból adódik, hogy az elfordítás miatt , másrészt , mert ezek húrjai, és hozzájuk -ban egyenlő kerületi szögek, és így egyenlő ívek tartoznak: Az ábrán bemutatott helyzeten a -ből induló belső szögfelezőnek az háromszögbe eső szakaszán van, így és e háromszög kerületének pontjai. Az olvasó hasonlóan beláthatja, hogy az állítás a mondott, valamint a külső szögfelező bármely, a -től különböző pontjára érvényes. |
|