Kezdőlap


Feladat:	1396. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Babai L. , Bárány Imre , Baranyai Zs. , Deák J. , Domokos L. , Domokos Zsuzsanna , Forgács P. , Gáspár A. , Herényi I. , Kiss A. , Korchmáros G. , Lévai F. , Malina J. , Márki L. , Recski A. , Surányi László , Szalay M. , Szeidl L. , Székely G. , Szörényi M. , Vesztergombi Katalin
Füzet:	1967/április, 150 - 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/május: 1396. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vegyük észre, hogy a belső gyökjel alatt $3$ -mal az első zárójeles tényezőbe beszorozva, a két tényező összege kétszer akkora, mint a belső gyökjel előtti kifejezés, és így

\begin{matrix} \frac{3}{2} (1 - cos ϑ) + \frac{1}{2} (1 + cos ϑ - 2 sin ϑ) = 2 - cos ϑ - sin ϑ, \\ K^{2} = {(\sqrt[]{3 \cdot \frac{1 - cos ϑ}{2}} + \sqrt[]{\frac{1 + cos ϑ - 2 sin ϑ}{2}})}^{2} . \end{matrix}

A gyökjelek alatti kifejezéseket tovább alakítva

\begin{matrix} \frac{1}{2} (1 + cos ϑ - 2 sin ϑ) = cos^{2} \frac{ϑ}{2} - 2 sin \frac{ϑ}{2} cos \frac{ϑ}{2} = cos^{2} \frac{ϑ}{2} (1 - 2 tg\frac{ϑ}{2}), \end{matrix}

(2)

ennélfogva

\begin{matrix} K = \sqrt[]{3} \cdot | sin \frac{ϑ}{2} | + | cos \frac{ϑ}{2} | \cdot \sqrt[]{1 - 2 tg\frac{ϑ}{2}} . \end{matrix}

(3)

A belső gyökjel előtti kifejezés pozitív:

\begin{matrix} (1 - cos ϑ) + (1 - sin ϑ) > 0, \end{matrix}

hiszen egyik zárójelben sem állhat negatív szám, azért (1) is, (3) is csak ott nincs értelmezve, ahol a belső gyökjel alatt

\begin{matrix} 1 + cos ϑ - 2 sin ϑ < 0, másképpen 1 - 2 tg\frac{ϑ}{2}< 0, tg\frac{ϑ}{2}>\frac{1}{2}. \end{matrix}

Ez a tangens-függvény egy periódusában, pl. a

(0, π)

intervallumban, akkor teljesül, ha

\begin{matrix} arc tg\frac{1}{2}<\frac{ϑ}{2}<\frac{π}{2}, \end{matrix}

vagyis a

(0,2 π)

intervallumban a következő értékekre:

\begin{matrix} 2 arc tg\frac{1}{2}= arc tg\frac{4}{3}<ϑ<π. \end{matrix}

Az értelmezési tartományt azonban kényelmesebb a

(- π, π)

intervallumban megadni, mert ebben összefüggő:

- π ≦ ϑ ≦ arc tg 4 / 3

esetén (1) a (3) alakban írható, hozzátéve, hogy

ϑ = - π

esetén (3) második tagja (2) első alakja miatt

0

Bárány Imre (Budapest, Corvin Mátyás Gimn.)
Surányi László (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.)

Megjegyzés. Valójában a

\begin{matrix} \sqrt[]{A + \sqrt[]{B}} = \sqrt[]{(A + \sqrt[]{A^{2} - B}) / 2} + \sqrt[]{(A - \sqrt[]{A^{2} - B}) / 2} \end{matrix}

azonosságot¹ használtuk fel. Esetünkben

\begin{matrix} A^{2} - B & = {(2 - cos ϑ - sin ϑ)}^{2} - 3 (1 - cos ϑ) (1 + cos ϑ - 2 sin ϑ) = \\ = {(1 - 2 cos ϑ + sin ϑ)}^{2} . \end{matrix}

II. megoldás. Próbálkozzunk

ϑ / 2 = α

szögfüggvényeinek bevezetésével, így a fellépő

1 - cos ϑ

1 + cos ϑ

kifejezések egy-egy négyzetes taggá alakíthatók:

\begin{matrix} K & = \sqrt[]{2 - cos ϑ - sin ϑ + \sqrt[]{3 [1 - (1 - 2 sin^{2} α)] \cdot [1 + (2 cos^{2} α - 1) - 4 sin α cos α]}} = \\ = \sqrt[]{2 - cos ϑ - sin ϑ + 2 \sqrt[]{3 sin^{2} α (cos^{2} α - 2 sin α cos α)}} = \\ = \sqrt[]{2 - cos^{2} α + sin^{2} α - 2 sin α cos α + 2 \sqrt[]{3} \cdot | sin α | \cdot \sqrt[]{cos^{2} α - 2 sin α cos α}} = \\ = \sqrt[]{3 sin^{2} α + (cos^{2} α - 2 sin α cos α) + 2 \sqrt[]{3} \cdot | sin α | \cdot \sqrt[]{cos^{2} α - 2 sin α cos α}} = \\ = \sqrt[]{{(\sqrt[]{3} \cdot | sin α | + \sqrt[]{cos^{2} α - 2 sin α cos α})}^{2}} = \\ = \sqrt[]{3} \cdot | sin α | + \sqrt[]{cos^{2} α - 2 sin α cos α} = \sqrt[]{3} \cdot | sin α | + | cos α | \cdot \sqrt[]{1 - 2 tg α}, \end{matrix}

ami azonos (3)-mal.

Megjegyzés. Ajánljuk a feladat összehasonlítását az 1306. feladattal.²

¹Lásd pl. Faragó László: Matematikai szakköri feladatgyűjtemény, 3. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest 1965. 13. old. 80. feladat

²Lásd a megoldást K. M. L. 29 (1964/12 füzet) 209. o.