Kezdőlap


Feladat:	1393. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Arányi P. , Babai L. , Balogh K. , Bárány I. , Baranyai Zs. , Deák J. , Domokos L. , Domokos Zsuzsanna , Elekes Gy. , Faragó T. , Fodor Magdolna , Forgács P. , Füvesi I. , Gáspár A. , Gellért J. , Havas J. , Herényi I. , Hernádi Ágnes , Hoffmann György , Kalmár I. , Karsai Kornélia , Kiss A. , Korchmáros G. , Lamm P. , Lévai F. , Malina J. , Molnár Ágnes , Staub Klára , Surányi L. , Szántó O. , Szeidl László , Székely G. , Szemkeő Judit , Szörényi M. , Vesztergombi Katalin
Füzet:	1966/február, 63 - 64. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Feladat, Algebrai átalakítások, Teljes indukció módszere
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/május: 1393. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a kérdéses összeget $S_{n}$ -nel. $n = 1$ , $2$ , $3$ , és $4$ esetén

\begin{matrix} S_{1} = \frac{1}{3}, S_{2} = \frac{11}{24}, S_{3} = \frac{59}{120}, S_{4} = \frac{359}{720} . \end{matrix}

Az utóbbi

3

érték nevezőjében rendre

4!

5!

, ill.

6!

áll, számlálójuk pedig

1

-gyel kisebb a nevező felénél. Ez a szabályszerűség

S_{1}

-nek

2 / 6

alakjára is fennáll. Ezek az összegek tehát

\begin{matrix} S_{n} = \frac{\frac{(n + 2)!}{2} - 1}{(n + 2)!} = \frac{1}{2} - \frac{1}{(n + 2)!} \end{matrix}

(1)

alakúak. Bebizonyítjuk a teljes indukció módszerével, hogy ez az összefüggés minden

n

természetes számra helyes.
Előkészítésül egyszerűbb alakra hozzuk

S_{n} k

-adik tagját, ahol

1 ≦ k ≦ n

. A nevezőben

k!

-t kiemelve, majd tovább szorzattá alakítva és egyszerűsítve a törtet

k + 2

-vel

\begin{matrix} \frac{k + 2}{k! + (k + 1)! + (k + 2)!} = & (2) \\ \frac{(k + 2)}{k! (1 + k + 1 + (k + 1) (k + 2))} = \frac{k + 2}{k! {(k + 2)}^{2}} = \frac{1}{k! (k + 2)} . \end{matrix}

Tegyük fel, hogy (1) érvényes valamely

n

indexre, megmutatjuk, hogy ekkor öröklődik az

1

-gyel nagyobb indexre is. (2) felhasználásával

\begin{matrix} S_{n + 1} & = S_{n} + \frac{1}{(n + 1)! (n + 3)} = \frac{1}{2} - (\frac{1}{(n + 2)!} - \frac{1}{(n + 1)! (n + 3)}) = \\ = \frac{1}{2} - \frac{n + 3 - (n + 2)}{(n + 3)!} = \frac{1}{2} - \frac{1}{(n + 3)!} = \frac{1}{2} - \frac{1}{((n + 1) + 2)!} . \end{matrix}

Ez úgy adódik (1)-ből, hogy

n

helyére

n + 1

-et írunk. Így (1) valóban minden természetes számra igaz. Egytagú kifejezés alakban

\begin{matrix} S_{n} = \frac{(n + 2)! - 2}{2 (n + 2)!} . \end{matrix}

Szeidl László (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. III. o. t.)

II. megoldás. A fenti (2) kifejezés így is írható:

\begin{matrix} \frac{k + 2}{k! + (k + 1)! + (k + 2)!} = \frac{1}{k! (k + 2)} = \frac{k + 1}{(k + 2)!} = \frac{k + 2 - 1}{(k + 2)!} = \\ = \frac{1}{(k + 1)!} - \frac{1}{(k + 2)!} . \end{matrix}

S_{n}

minden egyes tagját így átalakítva tüstént (1) második alakjára jutunk:

\begin{matrix} S_{n} = (\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) + (\frac{1}{3!} - \frac{1}{4!}) + ... + (\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!}) + \\ + (\frac{1}{(n + 1)!} - \frac{1}{(n + 2)!}) = \frac{1}{2!} - \frac{1}{(n + 2)!} . \end{matrix}

Hernádi Ágnes (Budapest, Berzsenyi D. g. I. o. t.)

Megjegyzés. Lényegében ugyanehhez a megoldáshoz jutunk, ha

S_{n}

egyes tagjaihoz az

\begin{matrix} S_{n}^{*} = \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + ... + \frac{1}{n + 2!} \end{matrix}

összeg egymás utáni tagjait adjuk és észrevesszük, hogy az összeg (2) alapján

\begin{matrix} \frac{1}{k! (k + 2)} + \frac{1}{(k + 2)!} = \frac{1}{(k + 1)!}, így a teljes összeg \\ \frac{1}{2!} + S_{n}^{*} - \frac{1}{(n + 2)!} . \end{matrix}

Hoffmann György (Budapest, Berzsenyi D. g. II. o. t.)