Kezdőlap


Feladat:	1392. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh K. , Bárány L. , Deák J. , Domokos László , Elekes Gy. , Herényi I. , Juhász F. , Lamm P. , Lévai F. , Márki László , Surányi László , Szörényi M. , Telegdi L.
Füzet:	1966/október, 50 - 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Magasságvonal, Beírt kör, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/április: 1392. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az $A B C = H$ háromszögben az $A A_{0} = m_{a}$ magasság, az $A F = s_{a}$ súlyvonal és a $k$ beírt kör $ϱ$ sugara adott; ennek $B$ C-vel párhuzamos érintője $H$ -ból hozzá hasonló $A B' C' = H'$ háromszöget metsz ki, amelynek $k$ a $B' C'$ oldalhoz hozzáírt köre. $H$ -nak $B C$ -hez írt $k_{a}$ külső érintő körét érintse $B C$ $E_{2}$ -ben, $k$ -t $E_{1}$ -ben, továbbá $B' C'$ $k$ -t $E'_{2}$ -ben. Mivel $A$ a $H$ és $H'$ hasonlósági pontja, így $A$ , $E_{2}'$ , $E_{2}$ egy egyenesen van, másrészt $E_{1} E_{2}' ⊥ B C$ . Ismeretes, hogy a $B C$ oldal $F$ felezőpontja $E_{1} E_{2}$ -t is felezi. $E_{2} E_{2}'$ felezőpontját $D$ -vel jelölve az $E_{1} E_{2} E_{2}'$ háromszög $D F$ középvonala merőleges $B C$ -re és $ϱ$ hosszúságú, $E_{1} E_{2}$ -vel párhuzamos $d$ középvonala pedig $E_{1} E_{2}'$ -t felezőpontjában, $O$ -ban metszi, ami $k$ középpontja (1. ábra).
Ebből a következő szerkesztés adódik: Egy $m_{a}$ hosszúságú $A A_{0}$ szakaszra $A_{0}$ pontjában állított $a$ merőlegesből $A$ körüli $s_{a}$ sugarú körívvel kimetsszük $F$ -et. Az itt $a$ -ra állított merőlegesre rámérjük az $A$ -t tartalmazó oldalon az $F D = ϱ$ távolságot; megszerkesztjük $A D$ és $a$ metszéspontjának, $E_{2}$ -nek $F$ -re vonatkozó $E_{1}$ tükörképét és felmérjük $a$ -ra merőlegesen az $A$ -t tartalmazó oldalon az $E_{1} O = ϱ$ távolságot. Az $O$ körüli $ϱ$ sugarú $k$ körhöz $A$ -ból húzott érintők metszik ki $a$ -ból $B$ -t és $C$ -t.
A szerkesztés helyességéhez annyit kell belátnunk, hogy $F$ a $B C$ szakasz felezőpontja. Az $E_{1} O$ és $E_{2} D$ egyenesek $E_{2}'$ metszéspontja $k$ -nak $E_{1}$ -gyel átellenes pontja, mert $F D = ϱ$ az $E_{1} E_{2} E_{2}'$ háromszög középvonala. Meghúzva $E_{2}'$ -ben $k$ -nak $B' C'$ érintőjét, $k$ az $A B' C'$ háromszög $B' C'$ -höz hozzáírt köre, s így $E_{2}$ az $A B C$ háromszög $B C$ -hez hozzáírt körének érintési pontja, tehát az imént felhasznált tétel szerint $E_{1} E_{2}$ -nek $F$ középpontja $B C$ -t is felezi.

Megjegyzés. Némi számolás alapján

O

-t kimetszhetjük

d

-ből a

B A C

szög felezőjével is, kitűzve ennek az

a

-ra

F

-ben állított merőlegesen levő

G

pontját.

G

felezi az

O E_{1} O_{a} E_{2}

trapéz

O O_{a}

átlóját, és így

F G = (ϱ_{a} - ϱ) / 2

, ill. a

H

és

H'

hasonlóságából adódó

ϱ_{a} = ϱ m_{a} / (m_{a} - 2 ϱ)

kifejezés alapján

F G = ϱ^{2} / (m_{a} - 2 ϱ)

G

a

-nak

A

-t nem tartalmazó partján van, mert

ϱ_{a} > ϱ

(lásd a szerkesztést az 1. ábrán,

A A_{0}

bal oldalán).

A kitűző

II. megoldás (vázlat). A háromszög területének két kifejezéséből, a szokásos és a fentebbi, valamint

A_{0} F = q

jelölésekkel,

b \geq c

előírásával

\begin{matrix} 2 t = a m_{a} = (a + b + c) ϱ, b + c = p \cdot a, ahol p = (m_{a} - ϱ) / ϱ, \end{matrix}

(1)

adatainkból előállítható arányszám. Másrészt az

A A_{0} C

és

A A_{0} B

derékszögű háromszögekből kellő rendezéssel és (1) figyelembevételével

\begin{matrix} m_{a}^{2} = b^{2} - {(q + a / 2)}^{2} = c^{2} - {(q - a / 2)}^{2}, b^{2} - c^{2} = 2 a q, \\ b - c = 2 a q / (b + c) = 2 q / p = 2 q ϱ / (m_{a} - ϱ) = 2 ϱ \sqrt[]{s_{a}^{2} - m_{a}^{2}} / (m_{a} - ϱ), \end{matrix}

ez az adatokból, pl. negyedik arányos szakaszként, megszerkeszthető.
Mármost

b - c = C A - B A = C E_{1} - B E_{1} = B E_{2} - B E_{1} = E_{1} E_{2}

. Eszerint

E_{1}

-et megadja a fenti

A A_{0} F

háromszöghöz az

F

-ből

A_{0}

irányában fölmér

(b - c) / 2 = ϱ \cdot q / (m_{a} - ϱ) = ϱ \cdot A_{0} F / (m_{a} - ϱ)

szakasz végpontja (2. ábra), ebből

k

megszerkeszthető.

Surányi László (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.)

3. ábra

III. megoldás (vázlat). Az

A_{0} A F

derékszögű háromszöget megszerkesztjük, mint az I. megoldásban, majd a keresetthez helyzetre is hasonló

A^{*} B^{*} C^{*}

háromszöget szerkesztünk. Tetszés szerint kijelölünk

A_{0} F

-en egy

F

-re szimmetrikus

B^{*} C^{*}

szakaszt (3. ábra).

A^{*}

-ra (1) szerint

A^{*} B^{*} + A^{*} C^{*} = B^{*} C^{*} \cdot p = u^{*}

, ami az adatokból megszerkeszthető. A

C^{*} A^{*}

szakasz meghosszabbítására felmérve az

A^{*} B_{1} = A^{*} B^{*}

szakaszt,

B_{1}

C^{*}

középpontú,

u^{*}

sugarú

k_{1}

kör és az

A^{*}

középpontú,

A^{*} B^{*}

sugarú

k_{2}

kör érintkezési pontja.

k_{1}

megszerkeszthető,

k_{2}

átmegy

B^{*}

-nak az

A^{*} F

egyenesre vonatkozó

B_{2}

tükörképén is, ami megszerkeszthető. Így a feladatot visszavezettük a

k_{1}

kört érintő és a

B^{*}

és

B_{2}

ponton átmenő kör középpontjának megszerkesztésére. Ennek egy megoldása szerepel a 768. gyakorlat II. megoldásában.¹

A^{*}

-ot ismerve,

B

-t és

C

-t az

A

-n át

A^{*} B^{*}

-gal és

A^{*} C^{*}

-gal párhuzamosan húzott egyenes metszi ki a

B^{*} C^{*}

egyenesből.

Domokos László (Tatabánya, Árpád Gimn.)

Megjegyzés.

A^{*}

A F

egyenes metszéspontja a

B^{*}

C^{*}

fókuszú,

u^{*}

nagytengelyű ellipszissel, s így megszerkeszthető az ellipszis és főköre közti (derékszögű) affinitás alapján is.² A szerkesztést a 4. ábra mutatja.

Márki László (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.)

¹K. M. L. 26 (1963) 138. o.

²Lásd Lőrincz Pál: Ábrázoló geometria a gimn. IV. o. számára, 6. kiadás, Tankönyvkiadó, Bp., 1962, 43‐47. o.; vagy Vigassy Lajos: Geometriai transzformációk, Tankönyvkiadó, Bp. 1963, 47‐50. o.