Kezdőlap


Feladat:	1386. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Arányi P. , Babai L. , Bárány I. , Deák J. , Domokos L. , Domokos Zsuzsanna , Elekes Gy. , Fodor Magdolna , Gáspár A. , Herényi I. , Höss Rozália , Karsai Kornélia , Külvári I. , Nagy Klára , Steiner Gy. , Surányi L. , Szalay M. , Szántó O. , Tóth Teréz
Füzet:	1966/április, 151 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Feladat, Trigonometriai azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/április: 1386. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elég az egyenlőtlenségnek eleget tevő $x$ értékeket a

\begin{matrix} 0 \leq x < 360^{\circ} \end{matrix}

(2)

intervallumban megkeresni, mert

x

-et

360^{\circ}

-kal növelve

4 x

is,

5 x

360^{\circ}

-nak egész többszörösével növekszik, így pedig a bal oldal minden tagjának értéke és velük az egész bal oldal értéke is változatlan.
A bal oldali

K

kifejezés

2 - 2

tagjának összegét szorzattá alakítjuk a

\begin{matrix} sin u + cos u & = sin u + sin (90^{\circ} - u) = 2 sin 45^{\circ} cos (u - 45^{\circ}) = \\ = \sqrt[]{2} cos (u - 45^{\circ}) \end{matrix}

azonosság felhasználásával, majd pedig a két koszinusz összegét szorzattá alakító azonosság alapján:

\begin{matrix} K & = \sqrt[]{2} cos (4 x - 45^{\circ}) + \sqrt[]{2} cos (5 x - 45^{\circ}) = & (3) \\ = 2 \sqrt[]{2} cos (\frac{9}{2} x - 45^{\circ}) cos \frac{1}{2} x . \end{matrix}

Eszerint (1) akkor és csak akkor teljesül, ha (3) változó tényezői ellentétes előjelűek.
Keressük meg (2)-ben mindazokat az

x

értékeket, ahol

K

valamelyik tényezőjének értéke

0

\begin{matrix} cos (\frac{9}{2} x - 45^{\circ}) = 0, ha \frac{9}{2} x - 45^{\circ} = (2 k + 1) 90^{\circ}, azaz \\ x = 30^{\circ} + k \cdot 40^{\circ}, \end{matrix}

\begin{matrix} cos \frac{x}{2} = 0, ha \frac{x}{2} = (2 k + 1) 90^{\circ}, x = 180^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} . \end{matrix}

Az első tényezőből

0 \leq k \leq 8

esetén, a másodikból

k = 0

esetén kapunk (2)-be eső értékeket, így

K = 0

a következő helyeken teljesül:

\begin{matrix} 30^{\circ}, 70^{\circ}, 110^{\circ}, 150^{\circ}, 180^{\circ}, 190^{\circ}, 230^{\circ}, 270^{\circ}, 310^{\circ}, 350^{\circ} . \end{matrix}

(4)

Minden ilyen helyen áthaladva (3) egyik tényezőjének előjele ellentétesre fordul, és nincs (4)-ben olyan érték, ahol egyszerre mindkét tényező előjele változnék. Ezért

K

előjele minden (4)-beli értéken átlépve ellentétesre fordul.

x = 0^{\circ}

-nál (1) nem teljesül, mert bal oldala

2

, pozitív. Ezért (1) megoldása a (2) intervallumban:

\begin{matrix} 30^{\circ} < x < 70^{\circ}, 110^{\circ} < x < 150^{\circ}, 180^{\circ} < x < 190^{\circ}, \\ 230^{\circ} < x < 270^{\circ}, 310^{\circ} < x < 350^{\circ} . \end{matrix}

Az ábra

K

változását mutatja.

Karsai Kornélia (Szeged, Radnóti M. g. III. o. t.)