|
Feladat: |
1382. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bárány I. , Baranyai Zs. , Deák J. , Domokos L. , Eff L. , Ferenczi Gy. , Füvesi I. , Gáspár A. , Herényi I. , Hoffer Anna , Kálmán A. , Lévai F. , Malina J. , Márki L. , Surányi L. , Székely Gábor , Szilágyi P. , Szörényi M. |
Füzet: |
1966/szeptember,
7 - 8. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1965/március: 1382. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek az háromszög szárai , az alapon levő szög , és a két szögfelező , . Ekkor , ,
| |
1. ábra Az előírt arány kétféleképpen állhat fenn. A követelményből egyszerűsítéssel (ugyanis és )
| |
, a csúcsnál levő szög . esetén hasonlóan illetőleg mindkét oldalt -szel kifejezve
| | (2) | A bal oldal nem bontható fel két racionális együtthatós polinom szorzatára. Ugyanis, ha felbontható volna, akkor az egyik tényező elsőfokú volna, s így volna az egyenletnek racionális gyöke. Azonban csak olyan racionális szám lehet gyöke az egyenletnek, amelyben az állandó tag (pozitív vagy negatív) osztója, pedig együtthatójának osztója, vagyis a , , , , számok, ezek közül viszont ‐ amint a próbák mutatják ‐ egyik sem gyöke az egyenletnek. ‐ Így (2) gyökeit a középiskolai tananyag alapján nem határozhatjuk meg. A szögek közelítő meghatározását (1) alapján végezzük. Mindenesetre , mert ‐ és metszéspontját -val jelölve ‐ ha , akkor , tehát az háromszögben , és az derékszögű háromszögből , így . (1) két oldalának különbsége esetén 1, esetén esetén , az utóbbi kettő ellentett előjelű, így és között a különbség felveszi a 0 értéket. -nyi növekedésére a különbség -dal csökken; ennek a -nál talált többlet kb. része, ezért -kal próbálkozunk. Ekkor adódik, ami negatív, tehát . Véve -ot, adódik, így keresett értéke és között, van, az utóbbihoz kissé közelebb, mert , így pontossággal , és a csúcsnál levő szög .
Székely Gábor (Budapest, Madách I. G.)
Megjegyzés. Az első eset megoldásában a intervallumban előbb nő, majd csökken, ezért gondolni kell a lehetőségre. Innen azonban adódik, nincs második megoldás. Ugyanis (1) mindkét oldala folytonosan változik, minden értéket felvesz, ami és között van. |
|